Υπερκύβος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Στη [[γεωμετρία]], ο '''υπερκύβος''' ''ν''-διαστάσεων είναι ανάλογος ενός [[Τετράγωνο|τετραγώνου]] (για ''ν''&nbsp;=&nbsp;2) ή [[Κύβος|κύβου]] (για ''nν''&nbsp;=&nbsp;3), κτλ., και είναι επίσης ένα [[ορθότοπο]]. Πρόκειται για ένα συμπαγές πολύτοπο ο σκελετός του οποίου αποτελείται από ιδίου μήκους παράλληλα ή κάθετα μεταξύ τους [[Ευθύγραμμο τμήμα|ευθύγραμμα τμήματα]] τα οποία εδράζουν σε όλες τις διαστάσεις του χώρου που ανήκει. Η μεγαλύτερη διαγώνιος που εγγράφεται εντός ενός υπερκύβου ''ν''-διαστάσεων είναι ίση με <math>\sqrt{V}</math>την τετραγωνική ρίζα του ''ν''.

Ένας ''ν''-διαστάσεων υπερκύβος καλείται επίσης ''ν-κύβος''. Ο όρος «πολύτοπο μέτρο»<ref>Olshevsky, George, ''[http://web.archive.org/web/20070204075028/members.aol.com/Polycell/glossary.html#Measure Measure polytope]'' at Glossary for Hyperspace.</ref> που χρησιμοποιείται επίσης, κυρίως στην εργασία του ''H.S.M. Coxeter'' και αρχικά από τον ''Elte'', το 1912,<ref>{{Cite document | last = Elte | first = E. L. | title = The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces | publisher = University of Groningen | location = Groningen | year = 1912 }} Chapter&nbsp;IV, [http://www.amazon.com/Semiregular-Polytopes-Hyperspaces-Emanuel-Lodewijk/dp/141817968X five dimensional semiregular polytope].</ref> έχει πλέον αντικατασταθεί.

Ο '''Υπερκύβος μονάδας''' είναι ένα υπερκύβος του οποίου η πλευρά έχει μήκος μία μονάδα. Συχνά ο υπερκύβος, οι γωνίεςκορυφές του οποίου (ή κορυφέςγωνίες) είναι ''2^''ν'''' στο ''R^ν'' με συντεταγμένες ίσες με 0 ή 1, λέγεται '''Μονάδα υπερκύβου'''.

Αυτό μπορεί να γενικευθεί σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων και αυτή καθ' εαυτού η διαδικασία των σαρώσεων είναι γνωστή στα μαθηματικά ως ένα άθροισμα ''Minkowski'': ο ''δ'' διαστάσεων υπερκύβος είναι το [[άθροισμα Minkowski]] των ''δ'' αμοιβαίων ευθυγράμμων τμημάτων που είναι κάθετα σε μία μονάδα μήκους, και κατά συνέπεια αποτελεί παράδειγμα ενός ''ζωνότοπου''.

Μια μονάδα υπερκύβου ''ν'' διαστάσεων είναι επίσης ένα ''κυρτό περίβλημα'' όλων των σημείων του όπως αυτά μετατέθηκαν στις [[καρτεσιανές συντεταγμένες]] <math>\left(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \cdots, \pm \frac{1}{2}\right)</math>. Έχει μήκος ακμής 1 και ''ν''-διάστατο όγκο ίσο με 1.:

Ένας ''ν'' διαστάσεων υπερκύβος θεωρείται επίσης ως το ''κυρτό περίβλημα'' όλων των μεταθέσεων: <math>\left(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2}, \cdots, \pm \frac{1}{2}\right)</math>. Αυτή η μορφή επιλέγεται συχνά λόγω της ευκολίας που έχει στο να καταγράψει τις συντεταγμένες του. Έχει αντίστοιχα μήκος ακμής 2,1 και ''ν''-διάστατο όγκο ίσο με 2^ν1.<ref>Bowen (1982), σσ. 97–99.</ref>

Μια άλλη σχετική οικογένεια ημικανονικών και ομοιόμορφων πολυτόπων είναι των [[Ημιυπερκύβος|Ημιυπερκύβων]], οι οποίοι είναι κατασκευασμένοι από υπερκύβους με εναλλακτική διαγραφή των κορυφών και [[σύμπλεξη]] των έδρων στα κενά, επισημαίνονταιεπισημαίνεται ως ''ηγ_ν''.

Κάθε ''ν''-κύβος, όπου ''ν&nbsp;>&nbsp;0'', αποτελείται από στοιχεία ή ''ν''-κύβους μιας κατώτερης διάστασης, σχετικής με την (''ν-1'') διαστάσεων επιφάνεια επί του υπερκύβου γονέα. Η κάθε πλευρά του υπερκύβου γονέα είναι και ένα στοιχείο της (''ν-1'') διάστασής του. Ένας υπερκύβος ''ν'' διαστάσεων έχει ''2ν'' πλευρές.<ref>OEIS [http://oeis.org/A005843 A005843].</ref> Δηλαδή, μία 1-διαστάσεων γραμμή έχει 2 άκρα (σημεία 0-διαστάσεων), ένα 2-διαστάσεων τετράγωνο έχει 4 πλευρές (γραμμές 1-διαστάσεων), ένας 3-διαστάσεων κύβος έχει 6 έδρες (τετράγωνα 2-διαστάσεων), ένα 4-διαστάσεων τεσσεράκτιο έχει 8 κελιά (κύβους 3-διαστάσεων), κοκ. ο αριθμός των κορυφών ενός ''ν''-κύβου είναι ''2^ν''<ref>OEIS [http://oeis.org/A000079 A000079].</ref> (για παράδειγμα, ένας κύβος έχει ''2³&nbsp;=&nbsp;8'' κορυφές).

Ένας ''ν-κύβος''-κύβος μπορεί να προβληθεί μέσα σε ένα κανονικό ''2ν''-γώνιο πολύγωνο με παραποίηση της ορθής προβολής, όπως παρουσιάζεται παρακάτω (από ευθύγραμμο τμήμα σε 12-κύβος).<ref>Trott, M. [http://www.mathematicaguidebooks.org/additions.shtml#N_1_04 Hypercube Projections] (The Mathematica Guidebooks Additional Material).</ref>

}} pσελ.&nbsp;296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in ''n'' dimensions (''n''&nbsp;≥&nbsp;5)

* ''[http://dogfeathers.com/java/hyprcube.html Stereoscopic Animated Hypercube]''.

* Rudy Rucker and Farideh Dormishian's ''[http://www.cs.sjsu.edu/~rucker/hypercube.htm Rudy Rucker and Farideh Dormishian's Hypercube Downloads]''.