Οι άρρητοι αριθμοί είναι όλοι οι [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]] οι οποίοι δεν είναι ρητοί. Ως εκ τούτου και ελλείψει μοναδικού συμβολισμού για το σύνολο των αρρήτων, χρησιμοποιείται ο έμμεσος συμβολισμός <math>\mathbb{R}-\mathbb{Q}</math> ή <math>\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}</math>, όπου <math>\mathbb{R}</math> το σύνολο των πραγματικών αριθμών και <math>\mathbb{Q}</math> το σύνολο των ρητών. Οι άρρητοι αριθμοί έχουν άπειρο αριθμό, μη επαναλαμβανόμενων περιοδικά, δεκαδικών ψηφίων.
== Ιστορικό ==
Η πρώτη ένδειξηκαταγραφή για τη γνώση των άρρητων αριθμών ξεκινά απόμε τον [[Ίππασος|Ίππασο]]<ref>{{cite journal|title=The Discovery of Incommensurability by Hippasus of Metapontum|author=Kurt Von Fritz|journal=The Annals of Mathematics|year=1945}}</ref>, έναν [[Πυθαγόρας|Πυθαγόρειο]] που πιθανόνείτε νααποκάλυψε τουςπως ανακάλυψεη όπωςδιαγώνιος προσπαθούσεενός νατετραγώνου αναγνωρίσειμε τιςπλευρά πλευρέςακέραιο τουδεν [[Πεντάγραμμο|πενταγράμμου]]είναι ακέραιος ή τους ανακάλυψε<ref>{{cite journal|title=The Pentagram and the Discovery of an Irrational Number|journal=The Two-Year College Mathematics Journal|author=James R. Choike|year=1980}}</ref> στην προσπάθεια να αναγνωρίσει τις πλευρές του [[Πεντάλφα|πενταγράμμου]]. Οι Πυθαγόρειοι δίδασκαν ότι οποιοσδήποτε φυσικός αριθμός μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο άλλων φυσικών αριθμών και διέδιδαν πως με τη χρήση των αριθμών μπορούσαν να επιλύσουν όλα τα προβλήματα του πραγματικού κόσμου. Η πρώτη ενδεχομένως κρίση στα Μαθηματικά εμφανίστηκε συνοδευόμενη από πολιτική κρίση όταν, σύμφωνα με την παράδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος (450 π.Χ.) αποκάλυψε τον άρρητο, γεγονός που φύλαγαν μυστικό οι Πυθαγόρειοι, και προκάλεσε την εξέγερση των λαών που τελούσαν υπό την εξουσία των Πυθαγορείων.
Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι ο λόγος δύο οποιωνδήποτε μεγεθών μπορεί να εκφραστεί ως λόγος δυο φυσικών αριθμών. Στην πεποίθηση αυτή είχαν στηρίξει όλη τη κοσμοθεωρία τους και προσπαθούσαν να επιλύσουν προβλήματα από τον πραγματικό κόσμο. Η πρώτη κρίση στα Μαθηματικά εμφανίστηκε όταν, σύμφωνα με την παραδοση, ο Ίππασος ο Μεταπόντιος (450 π.Χ.) αποκάλυψε τον άρρητο.
