Κλίση συνάρτησης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ Αναίρεση έκδοσης 4485364 από τον 79.130.118.169 (Συζήτηση) |
||
Γραμμή 1:
Η γενική διατύπωση γραμμικών συναρτήσεων είναι <math>g(x) = mx+b</math>. Η '''κλίση''' μιας γραμμικής '''συνάρτησης''' (δηλ. μιας [[ευθεία]]ς) είναι
[[Αρχείο:Linear function.png|thumbnail|Η κλίση μιας γραμμικής συνάρτησης.|400px]]
:<math>m=\frac {g(x_2)-g(x_1)}{x_2 - x_1}</math>
για δύο οποιαδήποτε σημεία <math>(x_1, \, g(x_1) \, ), (x_2, \, g(x_2) \, )</math> , όταν <math> x_1 </math> διάφορο <math> x_2 </math> .Αν <math> x_1 = x_2 </math> Τότε ΔΕΝ ορίζεται κλίση ευθείας .
[[Αρχείο:Tangent of a function.png|thumb|Η κλίση μιας μη γραμμικής συνάρτησης.|400px]]
Σε μη γραμμικές συναρτήσεις, π.χ. [[καμπύλη|καμπύλες]] στο δισδιάστατο χώρο (ως παραστατική περίπτωση) η κλίση ποικίλλει. Ένας τρόπος για να οριστεί η κλίση μιας (μη γραμμικής)
συνάρτησης <math>\,f(x)</math> σε κάποιο σημείο <math>\,x_1 </math> είναι να ταυτιστεί η κλίση της συνάρτησης στο σημείο <math> (x_1, \, f(x_1)) </math> με την κλίση της [[εφαπτόμενη|εφαπτομένης]] που έρχεται σε επαφή με την συνάρτηση στο συγκεκριμένο σημείο. Η επόμενη ερώτηση είναι λοιπόν πώς να υπολογιστεί η κλίση της εφαπτομένης. Είναι εύκολο να κατανοηθεί ότι αν επιλεχτεί ένα σημείο <math>\,x_2</math> κοντά στο <math>\, x_1 </math> η [[τέμνουσα]] που διέρχεται από τα σημεία
<math> (x_1, \, f(x_1)) </math> και <math> (x_2, \, f(x_2)) </math> έχει περίπου την ίδια κλίση με την εφαπτόμενη. Η κλίση της τέμνουσας είναι
:<math>
\frac {f(x_1)-f(x_2)}{x_2 - x_1}.
</math>
Το παραπάνω κλάσμα ονομάζεται ''μέσος ρυθμός μεταβολής''. Όσο πλησιέστερα επιλεχτεί το σημείο <math>\,x_2</math> στο σημείο <math>\,x_1</math>, τόσο καλύτερη είναι η προσέγγιση της κλίσης της εφαπτομένης. Η άπειρη προσέγγιση του σημείου <math>\,x_2</math> στο σημείο <math>\,x_1</math> και μαζί της ο υπολογισμός της κλίσης της εφαπτομένης εκφράζεται στα μαθηματικά ως ακολούθως
:<math>
f'(x_1) = \lim_{x_2 \rightarrow x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}
</math>
:<math>
= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1+h)-f(x_1)}{h}.
</math>
<math>\,f'(x_1)</math> ονομάζεται [[παράγωγος]] της συνάρτησης <math>\,f(x)</math> στο σημείο <math>\,x_1</math>. Επίσης μπορεί να ειπωθεί πως η παράγωγος είναι το [[όριο]] του μέσου ρυθμού μεταβολής εάν το <math>\,x_2</math> τείνει στο <math>\,x_1</math>. Αν αυτό το όριο υπάρχει τότε η συνάρτηση <math>\,f(x)</math> ονομάζεται ''διαφορίσιμη'', αν όχι, ''μη διαφορίσιμη''.
[[Κατηγορία:Μαθηματική ανάλυση]]
{{μαθηματικά-επέκταση}}
| |||