Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ολοκλήρωμα»

μ
Αποσαφήνιση συνδέσμων προς Επιφάνεια (σύνδεσμος άλλαξε σε Επιφάνεια (τοπολογία); σύνδεσμος άλλαξε σε Επιφάνεια (τοπολογία))
μ
μ (Αποσαφήνιση συνδέσμων προς Επιφάνεια (σύνδεσμος άλλαξε σε Επιφάνεια (τοπολογία); σύνδεσμος άλλαξε σε Επιφάνεια (τοπολογία)))
Οι αρχές της ολοκλήρωσης διατυπώθηκαν από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νεύτονα]] και τον [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς]] στο τέλος του [[17ος αιώνας|17ου αιώνα]]. Μέσα από το [[θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού]], που ανέπτυξαν ανεξάρτητα, η ολοκλήρωση συνδέεται με την [[παράγωγος|παραγώγιση]] και το ορισμένο ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης μπορεί εύκολα να υπολογιστεί μόλις γίνει γνωστή η αντιπαράγωγος. Τα ολοκληρώματα και οι παράγωγοι έγιναν τα βασικά εργαλεία του [[απειροστικός λογισμός|απειροστικού λογισμού]], με πολυάριθμες εφαρμογές στην επιστήμη και τη μηχανική.
 
Ένας αυστηρός μαθηματικός ορισμός του ολοκληρώματος δόθηκε από τον [[Μπέρναρντ Ρίμαν]]. Βασίζεται σε ένα [[όριο (μαθηματικά)|όριο]] που προσεγγίζει την επιφάνεια μιας καμπυλόγραμμης περιοχής με το να σπάει την περιοχή σε κάθετες λωρίδες. Τον [[19ος αιώνας|19ο αιώνα]] άρχισαν να εμφανίζονται πιο εξελιγμένες έννοιες του ολοκληρώματος, όπου ο τύπος της συνάρτησης όπως και το πεδίο ορισμού της ολοκλήρωσης έχουν γενικευθεί. Το [[επικαμπύλιο ολοκλήρωμα]] ορίζεται για συναρτήσεις δύο ή τριών μεταβλητών, και το διάστημα της ολοκλήρωσης <nowiki>[</nowiki>''a'',''b''<nowiki>]</nowiki> αντικαθίστανται από μια [[καμπύλη]] μεταξύ δυο σημείων του επιπέδου ή του χώρου. Στο [[επιφανειακό ολοκλήρωμα]], η καμπύλη αυτή αντικαθίσταται από μια [[Επιφάνεια (τοπολογία)|επιφάνεια]] στον τρισδιάστατο χώρο. Τα ολοκληρώματα [[διαφορική μορφή|διαφορικής μορφής]] παίζουν θεμελιώδη ρόλο στη σύγχρονη [[διαφορική γεωμετρία]]. Αυτές οι γενικεύσεις του ολοκληρώματος αρχικά εξελίχθηκαν από τις ανάγκες της [[φυσική]]ς, και παίζουν σημαντικό ρόλο στη διατύπωση πολλών φυσικών νόμων, κυρίως αυτών της [[ηλεκτροδυναμική]]ς. Σύγχρονες έννοιες της ολοκλήρωσης βασίζονται στην αφηρημένη μαθηματική θεωρία γνωστή ως [[Ολοκλήρωμα Λεμπέγκ|ολοκλήρωση Λεμπέγκ]], που αναπτύχθηκε από τον [[Ανρί Λεμπέγκ]].
 
==Θεμελιώδες θεώρημα του απειροστικού λογισμού==
==Είδη και πολλαπλότητα ολοκληρωμάτων==
 
Ένα ολοκλήρωμα εκτός από απλό μπορεί να είναι ''διπλό'' ή ''τριπλό'' και γενικά ''πολλαπλό''. Η πολλαπλότητα ενός ολοκληρώματος δηλώνει τον αριθμό των μεταβλητών ως προς τις οποίες γίνεται η ολοκλήρωση, δηλαδή τα [[όρισμα|ορίσματα]] της συνάρτησης που ολοκληρώνεται. Τα είδη των ολοκληρωμάτων δηλώνουν αντίστοιχα τη φύση του αποτελέσματος του ολοκληρώματος. Το ολοκλήρωμα α' είδους αντιστοιχεί γεωμετρικά σε [[γραμμή]], του δεύτερου είδους σε [[Επιφάνεια (τοπολογία)|επιφάνεια]], του τρίτου είδους σε [[όγκο]] και ούτω κάθ' εξής.
 
== Παραπομπές ==
8.140

επεξεργασίες