Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ομάδα»

98 bytes αφαιρέθηκαν ,  πριν από 7 έτη
μ
Εξελληνισμός + επιμέλεια με τη χρήση AWB (10003)
μ (Εξελληνισμός + επιμέλεια με τη χρήση AWB (10003))
[[Image:Rubik's cube.svg|thumb|right|Οι μετασχηματισμοί του [[Κύβος του Ρούμπικ|Κύβου του Ρούμπικ]] σχηματίζουν την [[ομάδα του Κύβου του Ρούμπικ]].]]
 
Στα [[μαθηματικά]], '''ομάδα''' είναι ένα [[σύνολο]] στοιχείων μαζί με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο [[Αλγεβρικό στοιχείο|στοιχεία]] του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται [[αξιώματα]] της ομάδας και αναφορικά είναι η [[κλειστότητα]] , η [[Προσεταιριστική ιδιότητα|προσεταιριστική ιδιότητα]], η [[Ταυτότητα (μαθηματικά)|ταυτότητα]] και η [[αντιστρεψιμότητα]]. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των [[Ακέραιοι αριθμοί|ακεραίων]] με την πράξη της [[πρόσθεση|πρόσθεσης]]ς. Η πρόσθεση δύο οποιωνδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, ούσα ανεξάρτητη από οποιαδήποτε συγκεκριμένη ομάδα και πράξη, επιτρέπει σε έννοιες που προέρχονται από πολύ διαφορετικούς κλάδους της [[Αφηρημένη άλγεβρα|αφηρημένης άλγεβρας]] αλλά και από άλλους τομείς να χρησιμοποιούνται ευέλικτα, διατηρώντας όμως τα απαραίτητα δομικά τους χαρακτηριστικά. Η ευρεία παρουσία των ομάδων σε πολλούς τομείς εντός και εκτός των μαθηματικών τις καθιστά μια κεντρική οργανωτική βάση των σύγχρονων μαθηματικών <ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2, p. 26|nb = yes}}</ref><ref>{{Harvard citations|last = Hall|year = 1967|loc = §1.1, p. 1|nb = yes}}: "The idea of a group is one which pervades the whole of mathematics both pure and applied."</ref>
 
Οι ομάδες συνδέονται στενά με την έννοια της [[συμμετρία|συμμετρίας]]ς. Για παράδειγμα μια [[συμμετρική ομάδα]] κωδικοποιεί τα συμμετρικά χαρακτηριστικά ενός [[γεωμετρικό αντικείμενο|γεωμετρικού αντικειμένου]] : η ομάδα απαρτίζεται από το σύνολο των μετασχηματισμών που αφήνουν αναλλοίωτο το αντικείμενο και την πράξη που συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τον ένα μετά τον άλλο. Οι [[Ομάδα Lie| Ομάδες Lie]] είναι συμμετρικές ομάδες που χρησιμοποιούνται σε μοντέλα [[σωματιδιακή φυσική| σωματιδιακής φυσικής]] , οι [[σημειακή ομάδα|σημειακές ομάδες]] χρησιμεύουν στην κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της [[μοριακή χημεία |μοριακής χημείας]] , οι [[ομάδα του Poincaré|ομάδες του Poincaré]] μπορούν να εκφράσουν τη φυσική συμμετρία που υποβόσκει στη [[ειδική σχετικότητα]]. Η ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις [[πολυωνυμική εξίσωση|πολυωνυμικές εξισώσεις]] , με τον [[Εβαρίστ Γκαλουά|Évariste Galois]] στα 1830. Με τη συνδρομή και άλλων κλάδων όπως η [[θεωρία αριθμών]] και η γεωμετρία, η έννοια της ομάδας γενικεύθηκε και θεμελιώθηκε γύρω στο 1870. Η σύγχρονη [[θεωρία ομάδων]] —με αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Για να ερευνήσουν τις ομάδες οι μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες για να σπάσουν τις ομάδες σε μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οι [[υποομάδα|υποομάδες]] , οι [[ομάδα πηλίκο|ομάδες πηλίκο]] και οι [[απλή ομάδα|απλές ομάδες]]. Επιπλέον των αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οι ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορεί να οριστεί συγκεκριμένα μια ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας ), τόσο από [[θεωρητικός|θεωρητική]] όσο και από [[υπολογιστικός|υπολογιστική]] πλευρά . Μια ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τις [[πεπερασμένη ομάδα|πεπερασμένες ομάδες]] ,η οποία κορυφώθηκε με την μνημειώδη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων που ανακοινώθηκε το 1983. Από τα μέσα του 1980 , η [[γεωμετρική θεωρία ομάδων]], η οποία μελετά [[πεπερασμένα παραγόμενη ομάδα|πεπερασμένα παραγόμενες ομάδες]] σαν γεωμετρικά αντικείμενα έχει εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων.
== Ορισμός και απεικονίσεις ==
# Εάν a είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε 0 + a = a + 0 = a. Το [[μηδέν]] καλείται το [[ουδέτερο στοιχείο]] της πρόσθεσης γιατί προσθέτοντας το με οποιονδήποτε ακέραιο το αποτέλεσμά του δίνει τον ίδιο ακέραιο.
# Για κάθε ακέραιο a, υπάρχει ένας ακέραιος b τέτοιος ώστε a + b = b + a = 0. Ο ακέραιος b καλείται [[αντίστροφο στοιχείο]] του ακεραίου a και συμβολίζεται −a.
 
 
Οι ακέραιοι, μαζί με την πράξη +, συγκροτούν ένα μαθηματικό αντικείμενο που ανήκει σε μία πιο μεγάλη κατηγορία αντικειμένων που μοιράζονται παρόμοιες δομικές αρχές. Για να κατανοηθούν κατάλληλα ως ένα σύνολο, δίνεται ο ακόλουθος θεωρητικός ορισμός:
: Υπάρχει ένα στοιχείο e στο G, τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο a στο G, η εξίσωση e • a = a • e = a να επαληθεύεται. Αυτό το στοιχείο είναι μοναδικό, και ως εκ τούτου αναφερόμαστε στο στοιχείο ταυτότητας.
; Αντίστροφο στοιχείο
: Για καθένα a στο G, υπάρχει ένα στοιχείο b στο G τέτοιο ώστε a • b = b • a = e.
 
Το αποτέλεσμα της πράξης αυτής μπορεί να εξαρτάται από τους τελεστές. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα του συνδυασμού του στοιχείου a με το στοιχείο b δεν είναι απαραίτητο να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα όπως συνδυάζοντας το στοιχείο b με το στοιχείο a η εξίσωση
|}
 
Αυτές οι συμμετρίες αναπαριστώνται από συναρτήσεις. Καθεμιά από αυτές τις συναρτήσεις στέλνει ένα σημείο του τετραγώνου στο συμμετρικό του. Για παράδειγμα, η r<sub>1</sub> περιστρέφει ένα σημείο κατά 90° δεξιά γύρω από το κέντρο του τετραγώνου, και η f<sub>h</sub> αντικατοπτρίζει ένα σημείο κατά την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου. Συνθέτοντας δύο τέτοιες συναρτήσεις συμμετρίας παίρνουμε μια τρίτη συνάρτηση συμμετρίας. Αυτές οι συμμετρίες ορίζουν μία ομάδα που ονομάζεται [[ διεδρική ομάδα]] τάξης τέσσερα και συμβολίζεται D<sub>4</sub>. Το σύνολο των στοιχείων της ομάδας είναι το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων συμμετρίας , και η πράξη της ομάδας είναι η [[σύνθεση συναρτήσεων]].<ref>{{Harvard citations|last = Herstein|year = 1975|loc = §2.6, p. 54|nb = yes}}</ref> Δύο συμμετρίες συνδυάζονται όταν τις συνθέτουμε σαν συναρτήσεις. Εφαρμόζουμε την πρώτη σε ένα τετράγωνο και στο αποτέλεσμα αυτής εφαρμόζουμε τη δεύτερη.Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης πρώτα του ''a'' και μετά του ''b'' γράφεται συμβολικά από δεξιά προς τα αριστερά ως
: ''b'' • ''a'' ("εφάρμοσε τη συμμετρία ''b'' αφού εκτελέσεις τη συμμετρία ''a''").
Ο από δεξιά προς τα αριστερά συμβολισμός είναι ο ίδιος που χρησιμοποιείται στη σύνθεση συναρτήσεων.
 
*<math>a \circ b =b \circ a \qquad \forall a,b \in A</math>
 
[[Κατηγορία:Άλγεβρα]]
 
{{Link FA|en}}
 
==Στοιχειώδη πορίσματα από τις ιδιότητες των ομάδων ==
<div class="dablink"> Οι ενότητες που ακολουθούν χρησιμοποιούν μαθηματικά σύμβολα, όπως το X = ''{''x'', ''y'', ''z''}''
το οποίο υποδηλώνει ένα σύνολο X που περιέχει στοιχεία x, y, και z, ή εναλλακτικά, το x ''∈'' X το οποίο υποδηλώνει ότι το x είναι ένα στοιχείο του X. Ο συμβολισμός {{nowrap|f : X ''→'' Y}} σημαίνει η f είναι μια συνάρτηση που στέλνει κάθε στοιχείο του X σε ένα στοιχείο του Υ.</div>
 
 
Για να κατανοήσουμε τις ομάδες, πέρα από τα σύμβολα όπως τα παραπάνω, πρέπει να εισάγουμε έννοιες που αφορούν τη δομή τους.{{cref|c}} Υπάρχει μια εννοιολογική αρχή που διέπει όλες τις ακόλουθες έννοιες: για να επωφεληθούμε από τη δομή των ομάδων, οι κατασκευές που σχετίζονται με τις ομάδες πρέπει να είναι συμβατές με την πράξη της ομάδας. Η συμβατότητα αυτή εκδηλώνεται στις ακόλουθες έννοιες με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, οι ομάδες μπορούν να συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων που ονομάζονται ομομορφισμοί ομάδων. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, οι ομομορφισμοί οφείλουν να τηρούν τις δομές της ομάδας. Επίσης, μπορούμε να μελετήσουμε τη δομή των ομάδων χωρίζοντάς τες σε υποομάδες και ομάδες πηλίκου. Η αρχή της «διατήρηση της δομής» - ένα σύνηθες πρόβλημα στα μαθηματικά - είναι ένα παράδειγμα του να εργάζεσαι σε μία κατηγορία, στην προκειμένη περίπτωση, στην κατηγορία των ομάδων.
Οι ομάδες χρησιμοποιούνται επίσης και σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Διάφορα μαθηματικά αντικείμενα εξετάζονται συνήθως ταξινομώντας τα σε ομάδες και μελετώντας τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, ο [[Henri Poincaré]] δημιούργησε αυτό που λέμε σήμερα αλγεβρική τοπολογία, ορίζοντας την θεμελιώδη ομάδα. Μέσω αυτής της σύνδεσης, τοπολογικές ιδιότητες όπως η ανοιχτή περιοχή και η συνέχεια προκύπτουν ως ιδιότητες των ομάδων. Για παράδειγμα, στοιχεία της θεμελιώδους ομάδας αναπαριστώνται από βρόχους. Η δεύτερη εικόνα στα δεξιά δείχνει βρόχους στον χώρο, γύρω από ένα σημείο που δεν ανήκει στον βρόχο. Ο μπλε βρόχος θεωρείται μη ομοτοπικός (γι’ αυτό και άσχετος), επειδή μπορεί να μικραίνει συνεχώς, μέχρι ένα σημείο. Η ύπαρξη της τρύπας εμποδίζει τον πορτοκαλί βρόχο να μικραίνει μέχρι ένα σημείο. Η θεμελιώδης ομάδα του επιπέδου που δεν περιλαμβάνει ένα σημείο, προκύπτει ως ένας άπειρος κύκλος, που παράγεται από τον πορτοκαλί βρόχο (ή οποιονδήποτε άλλον βρόχο που περιστρέφεται γύρω από την τρύπα). Με αυτόν τον τρόπο, η θεμελιώδης ομάδα ανιχνεύει την τρύπα.
Σε πιο πρόσφατες εφαρμογές, η επίδραση έχει επίσης αντιστραφεί για να παρακινήσει γεωμετρικές κατασκευές στη θεωρία ομάδων. Με παρόμοιο τρόπο, η γεωμετρική θεωρία ομάδων ασχολείται με γεωμετρικές έννοιες, όπως για παράδειγμα, τη μελέτη των υπερβολικών ομάδων. Άλλοι τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται η θεωρία ομάδων είναι η αλγεβρική γεωμετρία και η θεωρία αριθμών.
Εκτός από τις παραπάνω θεωρητικές εφαρμογές, υπάρχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές των ομάδων. Η κρυπτογραφία βασίζεται στο συνδυασμό της αφηρημένης προσέγγισης της θεωρίας ομάδων και στις γνώσεις πάνω στους αλγορίθμους που αποκτήθηκαν στην υπολογιστική θεωρία ομάδων, ιδίως όταν εφαρμόζεται για πεπερασμένες ομάδες. Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων δεν περιορίζονται στα μαθηματικά. Επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία και η επιστήμη των υπολογιστών ωφελούνται σε μεγάλο βαθμό από την θεωρία ομάδων.
 
 
=== Αριθμοί ===
===Γενική γραμμική ομάδα και θεωρία εκπροσώπησης===
[[Image:Matrix multiplication.svg|right|thumb|250px|Δύο διανύσματα (η αριστερή εικόνα) πολλαπλασιαζόμενα με πίνακες (τα μεσαία και η δεξιά εικόνα). Η μεσαία εικόνα αντιπροσωπεύει μια δεξιόστροφη περιστροφή κατά 90 °, ενώ οι πιο δεξιά ένα τεντώνει το x-συντεταγμένη κατά ένα παράγοντα 2.]]
Οι ομάδες πινάκων αποτελούνται από πίνακες, μαζί με πολλαπλασιασμό πινάκων. Η γενική γραμμική ομάδα {{nowrap begin}}''GL''(''n'', '''R'''){{nowrap end}} ) αποτελείται από όλους τους αντιστρέψιμους ''n''-by-''n''πίνακες με πραγματικά στοιχεία. Οι υποομάδες της αναφέρονται ως ομάδες πινάκων ή γραμμικές ομάδες. Το παράδειγμα της διεδρικής ομάδας που αναφέρθηκε παραπάνω μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ μικρή) ομάδα πινάκων. Μια άλλη σημαντική ομάδα πινάκων είναι η ειδική ορθογώνια ομάδα ''SO''(''n''). Περιγράφει όλες τις πιθανές περιστροφές σε ''n'' διαστάσεις. Μέσω γωνιών Όυλερ(Euler), οι πίνακες περιστροφής χρησιμοποιούνται σε γραφικά υπολογιστών.
 
Η θεωρία εκπροσώπησης είναι εφαρμογή της έννοιας της ομάδας και σημαντική για μια βαθύτερη κατανόηση των ομάδων. [55] [56] Μελετά την ομάδα από τις ενέργειες του διανυσματικού χώρου σε άλλους χώρους. Μια ευρεία κατηγορία των αναπαραστάσεων της ομάδας είναι γραμμικές αναπαραστάσεις, δηλαδή η ομάδα που δρα σε ένα χώρο φορέα, όπως ο τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος '''R'''<sup>3</sup>. Μια αναπαράσταση του ''G'' σε ένα ''n''-διάστατο διάνυσμα πραγματικού χώρου είναι απλά μια ομάδα ομομορφισμού
:''ρ'': ''G'' → ''GL''(''n'', '''R''')
από την ομάδα στη γενική γραμμική ομάδα. Με αυτό τον τρόπο, η λειτουργία της ομάδας, η οποία μπορεί να δοθεί αφηρημένα, μεταφράζεται στον πολλαπλασιασμό των πινάκων καθιστώντας προσιτό στους ρητούς υπολογισμούς.
Λαμβάνοντας υπόψη μια ομάδα δράσης, αυτό δίνει περαιτέρω μέσα για να μελετήσουν το αντικείμενο που μελετάται. Από την άλλη πλευρά, δίνει επίσης πληροφορίες σχετικά με την ομάδα. Αναπαραστάσεις Ομάδας είναι μια οργανωτική αρχή στη θεωρία των πεπερασμένων ομάδων, ομάδες Λάι(Lie), αλγεβρικές ομάδες και τοπολογικές ομάδες, ειδικά (τοπικά) συμπαγείς ομάδες.
 
 
=== Ομάδες Γκαλουά (Galois) ===
 
=== Η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων ===
Οι μαθηματικοί συχνά προσπαθούν για μια πλήρη ταξινόμηση (ή κατάλογος) μιας μαθηματικής έννοιας. Στο πλαίσιο των πεπερασμένων ομάδων, ο στόχος αυτός οδηγεί γρήγορα σε δύσκολα και βαθιά μαθηματικά. Σύμφωνα με το θεώρημα του Λαγκράνζ, πεπερασμένες ομάδες τάξης p, είναι κατ 'ανάγκην κυκλικές (αβελιανές) '''Z'''<sub>''p''</sub> ομάδες. Ομάδες ''p''<sup>2</sup> τάξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι είναι αβελιανή, μια πρόταση η οποία δεν γενικεύεται για τάξη ''p''<sup>3</sup>, ως μη αβελιανή ομάδα D<sub>4</sub> τάξης 8 = 2<sup>3</sup> όπως φαίνεται παραπάνω. Το σύστημα άλγεβρας υπολογιστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λίστα μικρών ομάδων, αλλά δεν υπάρχει κατάταξη όλων των πεπερασμένων ομάδων. Ένα ενδιάμεσο βήμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων. {{cref|r}} Μια τετριμμένη ομάδα ονομάζεται απλή, αν μόνο κανονικές υποομάδες της είναι η τετριμμένη ομάδα και η ίδια η ομάδα. {{cref|s}} Το θεώρημα Jordan-Hölder παρουσιάζει πεπερασμένες απλές ομάδες, όπως τα δομικά στοιχεία για όλες τις πεπερασμένες ομάδες. περί του καταλόγου όλων των πεπερασμένων απλών ομάδων ήταν ένα σημαντικό επίτευγμα στη σύγχρονη θεωρία ομάδων. Ο νικητής του μεταλλίου Fields του 1998 Borcherds Richard κατάφερε να αποδείξει τα τερατώδη εικασία, μια εκπληκτική και βαθιά σχέση της μεγαλύτερης πεπερασμένης απλής σποραδικής ομάδα-η «ομάδα τέρας»-με ορισμένες σπονδυλωτή λειτουργίες, ένα κομμάτι της μιγαδικής ανάλυσης , και η θεωρία μέτρου, μια θεωρία υποτίθεται ότι θα ενοποιήσει την περιγραφή πολλών φυσικών φαινομένων.
 
==Προσθετικές Ομάδες==
 
===Τοπολογικές Ομάδες===
[[Image:Circle as Lie group2.svg|right|thumb|Ο μοναδιαίος κύκλος στο μιγαδικό επίπεδο υπό μιγαδικό πολλαπλασιασμό είναι μια ομάδα Lie και, ως εκ τούτου, μια τοπολογική ομάδα. Είναι τοπολογικές από το σύνθετο πολλαπλασιασμό και διαίρεση είναι συνεχείς. Είναι μια πολλαπλή και έτσι μια ομάδα Lie, επειδή κάθε μικρό κομμάτι, όπως είναι το κόκκινο τόξου στην εικόνα, μοιάζει με ένα μέρος της πραγματική γραμμή (που φαίνεται στο κάτω μέρος). ]]
 
Μερικοί τοπολογικοί χώροι μπορούν να τροφοδοτούνται με τον νόμο της ομάδας. Σύμφωνα με τον νόμο της ομάδας και την τοπολογία για να διαπλέξει καλά, οι πράξεις της ομάδας πρέπει να είναι συνεχείς συναρτήσεις, δηλαδή, {{nowrap|''g'' • ''h'',}} και ''g''<sup>&minus;1</sup> δεν πρέπει να διαφέρουν εξωφρενικά, αν g και h διαφέρουν μόνο λίγο. Τέτοιες ομάδες που ονομάζονται τοπολογικές ομάδες, και είναι τα αντικείμενα της ομάδας στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων. [66] Τα πιο βασικά παραδείγματα είναι ο R των πραγματικών με την πρόσθεση {{nowrap|('''R''' \ {0}, ·)}}, και παρόμοιο με οποιαδήποτε άλλο τοπολογικό τομέα, όπως τους μιγαδικούς αριθμούς ή''p''- αδικους αριθμούς. Όλες αυτές οι ομάδες είναι τοπικά συμπαγής, έτσι ώστε να έχουν Haar μέτρα και μπορεί να μελετηθεί μέσω της αρμονικής ανάλυσης. Ο πρώην προσφέρει ένα αφηρημένο φορμαλισμό αμετάβλητων ολοκληρωμάτων. Αναλλοίωτο σημαίνει, στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, για παράδειγμα:
: <math>\int f(x)\,dx = \int f(x+c)\,dx</math>
για κάθε σταθερά ''c''. Ομάδες πινάκων πάνω από αυτούς τους τομείς εμπίπτουν σε αυτό το καθεστώς, όπως και οι αβελιανοί δακτύλιοι και αβελιανές αλγεβρικές ομάδες, οι οποίες είναι βασικές για θεωρία αριθμών. Galois ομάδες του άπειρου επέκταση του πεδίου, όπως η απόλυτη ομάδα Galois μπορεί επίσης να εξοπλιστεί με μια τοπολογία, η λεγόμενη τοπολογία Κρουλ (Krull), η οποία με τη σειρά της είναι κεντρικής σημασίας για τη γενίκευση της παραπάνω σκιαγραφούμενης σύνδεσης των πεδίων και των ομάδων σε άπειρες επεκτάσεις τομέων. Μια προηγμένη γενίκευση αυτής της ιδέας, προσαρμοσμένη στις ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, είναι η βασική ομάδα Etale.
 
===Ομάδες Λι (Lie)===
{{Group-like structures}}
{{clr}}
 
[[Κατηγορία:Άλγεβρα]]
 
{{Link FA|en}}
30.823

επεξεργασίες