Μέγιστος κοινός διαιρέτης: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

''Απόδειξη'': Έστω δύο αριθμοί ''α'' και ''β'' και ο ΜΚΔ τους ''γ''. Αφού ο ''γ'' διαιρεί το ''α'' τότε έχει κοινούς πρώτους παράγοντες με το ''α''. Αφού διαιρεί και το ''β'' τότε έχει κοινούς πρώτους παράγοντες με το ''β''. Συνεπάγεται ότι ο ''γ'' έχει για πρώτους παράγοντες αυτούς οι οποίοι είναι κοινοί για το ''α'' και το ''β''. Αν δεν υπάρχουν κοινοί πρώτοι παράγοντες τότε ο ΜΚΔ είναι το ένα αφού όλοι οι αριθμοί διαιρούνται με τη μονάδα. Μένει να αποδείξουμε ότι οι πρώτοι παράγοντες είναι υψωμένοι στη μικρότερη κοινή δύναμη. Έστω ο κοινός πρώτος παράγοντας ''π'' ο οποίος είναι υψωμένος εις την ''μ'' στην περίπτωση του ''α'' και εις την ''ν'' στην περίπτωση του ''β''. Έστω ''ξ'' το ελάχιστο των ''μ'' και ''ν''. Αν ''ν''=''μ'' τότε ''ξ''=''ν''=''μ'' και φαίνεται αμέσως ότι το ''ξ'' είναι ηο κατάλληληκατάλληλος δύναμηεκθέτης για το γινόμενο πρώτων παραγόντων του ''γ''. Αν ''ν''>''μ'', τότε ''ξ''=''μ''. Αν θέσουμε την τιμή του εκθέτη της ζητούμενης δύναμης για το ''γ'' μεγαλύτερη από το ''ξ'' τότε δεν θα διαιρεί τη δύναμη με εκθέτη ''μ'' καθώς το πηλίκο θα είναι μικρότερο του ενός και φυσικά όχι μηδέν. Αν τη θέσουμε μικρότερη από το ''ξ'' τότε το πηλικό θα είναι δύναμη του πρώτου παράγοντα με εκθέτη τουλάχιστον ένα και για το ''μ'' και για το ''ν''. Άρα η μέγιστη δύναμη που διαιρεί και τις δύο δυνάμεις είναιέχει τοεκθέτη ''ξ''. Ομοίως και για ''ν''<''μ''.