Βικιπαίδεια

Δακτύλιος (άλγεβρα): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Γραμμή 7:
|msc2010= 16-XX
}}
Ένας '''Δακτύλιος''' στα μαθηματικά λέγεταιείναι μια αλγεβρική δομή, <math><(R,+,*>)</math>, η οποία αποτελείται από ένα μη κενό [[σύνολο]] R, εφοδιασμένο με δύο διμελείς [[Πράξη (μαθηματικά)|πράξεις]] <math>+:R\times R\rightarrow R</math> και <math>*:R\times R\rightarrow R</math> που ορίζονται σε αυτό, και (οι οποίες αποκαλούνται αντίστοιχασυχνά ''[[πρόσθεση]]'' και ''[[πολλαπλασιασμός]]'', έτσιαντίστοιχα), ώστε να ικανοποιούνται τα ακόλουθα [[Αξίωμα|αξιώματα]]:
 
* ΤοΗ δομή <math><(R,+>,0)</math> (δηλ. το R μαζί με την πρόσθεση +) είναι μια [[αβελιανή ομάδα]] με ουδέτερο στοιχείο το 0:
** <math>(x+y)+z=x+(y+z)</math> για κάθε <math>x,y,z\in R</math> (προσεταιριστικότητα).
** (''a'' + ''b'') + ''c'' = ''a'' + (''b'' + ''c'')
** Υπάρχει ένα στοιχείο <math>0\in R</math> ώστε <math>0+x=x+0=x</math> για κάθε <math>x\in R</math> (ύπαρξη προσθετικού ουδέτερου στοιχείου).
** ''a'' + ''b'' = ''b'' + ''a''
** Για κάθε στοιχείο <math>x\in R</math> υπάρχει ένα στοιχείο <math>-x\in R</math> ώστε <math>x+(-x)=(-x)+x=0</math> (ύπαρξη αντίστροφου στοιχείου).
** 0 + ''a'' = ''a'' + 0 = ''a''
** <math>x+y=y+x</math> για κάθε <math>x,\in R</math> (μεταθετικότητα).
** ∀''a'' ∃(−''a'') τέτοιο ώστε ''a'' + −''a'' = −''a'' + ''a'' = 0
* Η δομη <math>(R,*)</math> είναι [[μονοειδές]]:
* Ο πολλαπλασιασμός (*) ικανοποιεί την προσεταιριστική ιδιότητα (δηλ.α*(β*γ)=(α*β)*γ).
** <math>(x*y)*z=x*(y*z)</math> για κάθε <math>x,y,z\in R</math> (προσεταιριστικότητα).
* Ο πολλαπλασιασμός (*) είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση. Δηλαδή, για κάθε <math>a,b,c\in R</math> ισχύουν ο αριστερός επιμεριστικός νόμος, <math>a*(b+c)=a*b+a*c</math> και ο δεξιός επιμεριστικός νόμος <math>(a+b)*c=a*c+b*c</math>.
** Υπάρχει ένα στοιχείο <math>1\in R</math> ώστε <math>1*x=x*1=x</math> για κάθε <math>x\in R</math> (ύπαρξη πολλαπλασιαστικού ουδέτερου στοιχείου).
* Ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση:
**<math>x*(y+z)=x*y+x*z</math> για κάθε <math>x,y,z\in R</math> (αριστερός επιμεριστικός νόμος).
**<math>(x+y)*z=x*z+y*z</math> για κάθε <math>x,y,z\in R</math> (δεξιός επιμεριστικός νόμος).
 
Το πολλαπλασιαστικό ουδέτερο στοιχείο συνήθως ονομάζεται '''μονάδα'''.
Εάν επιπλέον ορίζεται στον δακτύλιο '''μοναδιαίο στοιχείο''', δηλαδή ουδέτερο στοιχείο ως προς τον πολλαπλασιασμό (*), ο δακτύλιος λέγεται '''δακτύλιος με μοναδιαίο''','''δακτύλιος με μονάδα ''' ή '''1-δακτύλιος'''.
 
==Σημείωση σχετικά με τον ορισμό==
Αν ο πολλαπλασιασμός είναι μεταθετικός, δηλαδή ισχύει ''a*b''=''b*a'', ∀''a, b'', τότε ο δακτύλιος λέγεται '''αντιμεταθετικός''' ή '''μεταθετικός'''.▼
Στην γενικότητα του ένας δακτύλιος δεν είναι αναγκαστικό να έχει πολλαπλασιαστικό ουδέτερο. Ο παραπάνω ορισμός οφείλεται στην [[Έμμυ Ναίτερ]] ([[Emmy Noether|Emmy Noether]]) όπως παρατέθηκε σε μια εργασία της στο Mathematische Annalen, vol. 83 (1921).
 
▲Αν ο πολλαπλασιασμός είναι μεταθετικός, δηλαδή ισχύει ''a<math>x*b''y=''by*a''x,\,\,\forall ∀''ax,y\in b''R</math>, τότε ο δακτύλιος λέγεται '''αντιμεταθετικός''' ή '''μεταθετικός'''.
Έστω <math>R</math> ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, που θα το συμβολίζουμε με 1. Ένα στοιχείο <math>u\in R</math> λέγεται αντιστρέψιμο αν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο στον <math>R</math>, δηλαδη:▼
 
<center>To <math> u </math> είναι αντιστρέψιμο, αν και μόνο αν υπάρχει <math>b\in R</math> τέτοιο ώστε <math>a*b=1=b*a</math></center>.
▲Έστω <math>R</math> ένας δακτύλιος με μοναδιαίο στοιχείο, που θα το συμβολίζουμε με 1. Ένα στοιχείο <math>ux\in R</math> λέγεται αντιστρέψιμο αν έχει πολλαπλασιαστικό αντίστροφο στον <math>R</math>, δηλαδηδηλαδή αν υπάρχει <math>y\in R</math> ώστε:
* <math>x*y=y*x=1</math>
 
Αν κάθε μη μηδενικό στοιχείο του <math>R</math> είναι αντιστρέψιμο , τότε ο <math>R</math> λέγεται '''δακτύλιος διαίρεσης'''.
Γραμμή 38 ⟶ 45 :
 
Ένας [[ομομορφισμός]] από έναν δακτύλιο <math>(R,+,*)</math> σε έναν δακτύλιο <math>(S,+',*')</math> είναι μια συνάρτηση <math>f:R\rightarrow S</math>, η οποία διατηρεί τις πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού, πιο συγκεκριμένα η <math>f</math> είναι ομομορφισμός δακτυλίων εάν <math>\forall x,y\in R</math>:
*<math>f(x+y)=f(x)+'f(y)</math>.
*<math>f(x*y)=f(x)*'f(y)</math>.
Είναι άμεσο από τα αξιώματα ότι το προσθετικό ουδέτερο στοιχείο του δακτυλίου <math>R</math> απεικονίζεται στο προσθετικό ουδέτερο στοιχείο του <math>S</math>, δηλαδή <math>f(e_{+})=e_{+'}</math>.
 
Γραμμή 49 ⟶ 56 :
 
 
==Βιβλιογραφία==
 
{{Reflist}}
{{refbegin}}
* [[Nathan Jacobson|Jacobson, Nathan]] (2009) ''Basic Algebra I''. Reprinted 2009, Dover Publication.
* [[Aluffi, Paolo]] (2009) ''Algebra: Chapter 0''. American Mathematical Society.
{{refend}}
 
[[Κατηγορία:Άλγεβρα]]
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Δακτύλιος_(άλγεβρα)"