Αξίωμα της επιλογής: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Francois-Pier (συζήτηση | συνεισφορές)
Προσαρμογή προτύπου
μ Αποσαφήνιση συνδέσμων προς Μοντέλο (σύνδεσμος άλλαξε σε Μαθηματικό μοντέλο)
Γραμμή 82:
Παρά αυτά τα γεγονότα, οι περισσότεροι μαθηματικοί αποδέχονται το αξίωμα της επιλογής ως έγκυρη αρχή για την απόδειξη νέων αποτελεσμάτων στα μαθηματικά. Η συζήτηση είναι αρκετά ενδιαφέρον, ωστόσο, θεωρείται από σημείωση ότι όταν ένα θεώρημα στο ZFC (ZF συν AC) είναι [[λογικά ισοδύναμο]] (μαζί με τα αξιώματα ZF) προς το αξίωμα της επιλογής, και οι μαθηματικοί αναζητούν αποτελέσματα που απαιτούν το αξίωμα της επιλογής να είναι ψευδής, αν αυτό το είδος της επαγωγής είναι λιγότερο συνεχές από ό τον τύπο που απαιτεί το αξίωμα της επιλογής για να είναι αληθινό.
 
Είναι δυνατό να αποδείξουμε πολλά θεωρήματα χρησιμοποιώντας είτε το αξίωμα επιλογής, είτε την άρνηση του, τέτοιες καταστάσεις είναι αληθές σε κάθε [[Μαθηματικό μοντέλο|μοντέλο]] της [[Zermelo-Fraenkel Θεωρίας Συνόλων]] (ZF), ανεξάρτητα από την αλήθεια ή την αναλήθεια του αξιώματος της επιλογής του σε αυτό το συγκεκριμένο μοντέλο . Ο περιορισμός για την ZF καθιστά οποιαδήποτε αξίωση που βασίζεται είτε στο αξίωμα της επιλογής είτε της άρνησής της να ειναι αναπόδεικτό. Για παράδειγμα, το παράδοξο του Banach-Tarski δεν είναι ούτε αποδείξιμο ούτε μη αποδείξιμο από το ZF: είναι αδύνατο να κατασκευαστεί η απαιτούμενη αποσύνθεση της μοναδιαίας μπάλας στην ZF, αλλά και αδύνατο να αποδειχθεί οτι δεν υπάρχει τέτοια αποσύνθεση. Ομοίως, όλες οι δηλώσεις που αναφέρονται παρακάτω, τα οποία απαιτούν την επιλογή της ή κάποια ασθενέστερη εκδοχή της για την απόδειξη τους είναι αναπόδεικτες στο ZF, αλλά δεδομένου ότι το καθένα είναι αποδείξιμο στο ZF συν το αξίωμα της επιλογής, υπάρχουν μοντέλα της ZF στο οποίο κάθε κατάσταση είναι αληθινή. Καταστάσεις όπως το παράδοξο του Banach-Tarski μπορεί να επαναδιατυπωθεί ως υπό όρους καταστάσεις, για παράδειγμα, «Αν AC κατέχει, η αποσύνθεση του παράδοξου Banach-Tarski υπάρχει." Τέτοιες δηλώσεις υπό όρους είναι αποδείξιμες στο ZF, όταν οι αρχικές δηλώσεις είναι αποδείξιμες από ZF και του αξίωμα της επιλογής.
 
==Δομημένα Μαθηματικά==