Νόμος των συνημιτόνων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ Εξελληνισμός+επιμέλεια με τη χρήση AWB (10111) |
||
Γραμμή 1:
[[
Ο '''Νόμος των συνημιτόνων''' ή αλλιώς το '''Θεώρημα του Άλ-Κασί''' κατά τους Γάλλους, αποτελεί μια [[Πυθαγόρειο θεώρημα#Γενικεύσεις|γενίκευση του πυθαγόρειου θεωρήματος]], χρησιμοποιούμενη στην [[
Το θεώρημα του Άλ-Κασί έχει ως εξής:
::: Έστω τρίγωνο ABC, όπου χρησιμοποιούνται οι συνήθεις συμβολισμοί που περιγράφονται στο<br/> Σχήμα 1: α,β,γ για τις γωνίες και, a,b,c για τα μήκη των πλευρών που αντιστοιχούν στις γωνίες αυτές.
:::<math>c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\gamma\,</math>.
==Ιστορικά==
[[
Τα [[
{{ρήση|Στα αμβλυγώνια τρίγωνα το τετράγωνο της πλευράς της κείμενης απέναντι της αμβλείας γωνίας, είναι μεγαλύτερο των τετραγώνων των πλευρών που την περιέχουν, κατά το διπλάσιο ορθογώνιο που περιέχεται μεταξύ της μιας πλευράς της αμβλείας γωνίας, του ύψους που πίπτει σε αυτήν και της ευθείας που ενώνει την αμβλεία με το ύψος.}}
Έχοντας ABC το αμβλυγώνιο με ύψος H που φέρεται από το B (Σχήμα 2), μπορούμε με τις σύγχρονες μεθόδους να συνοψίσουμε ως εξής:<br/>
:::<math>AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\times CA \times CH</math>.
Η αραβο-μουσουλμανική τριγωνομετρία τον [[Μεσαίωνας|Μεσαίωνα]] συνείσφερε στην βελτίωση του θεωρήματος: o [[αστρονόμος]] και [[μαθηματικός]] [[:en:Muḥammad ibn Jābir al-Ḥarrānī al-Battānī|Muḥammad ibn Jābir al-Ḥarrānī al-Battānī]] γενίκευσε την πρόταση του Ευκλείδη στην [[
Στις αρχές του [[19ος αιώνας|19ου αιώνα]] το θεώρημα ερμηνεύτηκε σύμφωνα με την σύγχρονη άλγεβρα και έγινε γνωστό με την σημερινή του ονομασία: νόμος των συνημιτόνων.
==Το θεώρημα και οι εφαρμογές του==
[[
Ο νόμος των συνημιτόνων είναι μια ειδική περίπτωση του Πυθαγορείου θεωρήματος<ref>http://nomostwosynhmitonwn.wikispaces.com/1</ref>:<br/>
:::Η γωνία <math>\gamma</math> έχει συνημίτονο ίσο με μηδέν (cos<math>\gamma</math>=0) αν και μόνο αν <math>c^2=a^2+b^2, \, </math>.
Το θεώρημα χρησιμοποιείται στον τριγωνισμό (Σχήμα 3) για να [[λύση των τριγώνων|"λύσει ένα τρίγωνο"]], δηλαδή να προσδιορίσει
*μια πλευρά ενός τριγώνου γνωρίζοντας την απέναντί της γωνία και τις παρακείμενες πλευρές:
:<math>c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma} \, </math>
*μια γωνία ενός τριγώνου γνωρίζοντας τις τρεις πλευρές του:
:<math>\gamma = \arccos \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.</math
Αυτοί οι τύποι είναι αριθμητικά ασταθείς σε περίπτωση που το c είναι μικρότερο του b και του a, ή ισοδύναμα όταν <math>\gamma</math> είναι μικρότερο του 1. <br/>
Στην περίπτωση των ομοίων τριγώνων
ABC και <nowiki>A'B'C'</nowiki> ισχύει το εξής: <br/>
:<math>cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos \gamma. \, </math
==Αποδείξεις==
Ακριβώς όπως το Πυθαγόρειο θεώρημα, το θεώρημα αυτό έχει πολλές αποδείξεις, χρησιμοποιώντας κάποιες ιδιότητες του Ευκλείδη ή του Άλ-Κασί, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές ιδιότητες ή ιδιότητες που σχετίζονται με τον κύκλο. Τέλος, το θεώρημα μπορεί να θεωρηθεί εφαρμογή των ιδιοτήτων του [[εσωτερικό γινόμενο|εσωτερικού γινομένου]].
===Απόδειξη του Ευκλείδη===
[[
Η απόδειξη του Ευκλείδη για τις προτάσεις 12 και 13 βασίζεται στο Πυθαγόρειο Θεώρημα και περιλαμβάνει το ύψος Η που φέρεται από το Β. Για το αμβλυγώνιο (πρόταση 12) σχημάτισε ένα τετράγωνο στην πλευρά AH του τριγώνου AHB:
: <math>CH^2+CA^2+2\times CH \times AC=AH^2</math>
Γραμμή 38:
και χρησιμοποίησε το Πυθαγόρειο Θεώρημα
: <math>CB^2+CA^2 + 2\times CH \times CA= AB^2</math>
Παρόμοια είναι η απόδειξη για την οξεία γωνία<ref>http://www.physics.ntua.gr/~mourmouras/euclid/book2/postulate13.html</ref>.
===Απόδειξη του Άλ-Κασί===
[[
Στο βιβλίο του ''Κλειδί της Αριθμητικής'' το 1429<ref>Selon Youssef Guergour, '' [http://dialnet.unirioja.es/servlet/fichero_articulo?codigo=2470591&orden=0 Le roi de Saragosse Al-Mutaman Ibn Hud et le théorème de Pythagore : ses sources et ses prolongements]'', LLULL, vol 28,2005, 415-434, la démonstration se trouve dans KASHI (al) (1967): Miftam al-misab [Clé de l'Arithmétique], al-Damardache, A. S. & al-Manfi al-Shikh, M. M. (Edit.), Le Caire, Dar al-Kitab al-cArabi li at-tibaqa wa an-Nashr, pp 130-138</ref> ο Άλ-Κασί γενίκευσε το Πυθαγόρειο Θεώρημα και εισήγαγε στην ισότητα την τριγωνομετρία. Έτσι από ένα οξυγώνιο ABC έφερε τα ύψη από Α και Β τα οποία τέμνουν τα σχηματιζόμενα από τις πλευρές AC και BC τετράγωνα, δημιουργώντας έτσι δύο ορθογώνια τρίγωνα. Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιους BF και AG, είναι ίσο με το εμβαδό του τετραγώνου ΑΒ και το εμβαδό των ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται από τις διαγώνιους CF και CG ισούται με CB × CA × cos(C). Έτσι δίνεται:
: <math>CA^2+CB^2=AB^2+2 CB\times CA \times \cos(C)</math
Παρόμοια είναι η απόδειξη για τα αμβλυγώνια, αφαιρώντας όμως εμβαδά.
===Συγκρίνοντας εμβαδά===
[[
[[
Αρκετές αποδείξεις χρησιμοποιούν τον υπολογισμό [[Εμβαδόν|εμβαδών]]. Θα πρέπει να σημειωθεί, λοιπόν, πως:
* <math>a^2</math>, <math>b^2</math> και <math>c^2</math> είναι τα εμβαδά των [[Τετράγωνο|τετραγώνων]] των αντίστοιχων πλευρών <math>a</math>, <math>b</math> και <math>c</math> ;
* <math>ab |\cos\gamma|</math> είναι αυτό του [[Παραλληλόγραμμο|παραλληλογράμου]] με πλευρές <math>a</math> και <math>b</math> σχηματίζοντας μια γωνία <math>\pi/2-\gamma</math>, η αλλαγή του προσήμου του <math>\cos\gamma</math> γίνεται όταν η γωνία <math>\gamma</math> γίνεται αμβλύα. 'Όπως φαίνεται επιβάλεται η μελέτη κατά περίπτωση.
Στο σχήμα 6α, το επτάγωνο χωρίζεται με δύο διαφορετικούς τρόπους για να αποδείξει το θεώρημα για μια οξεία γωνία:
* σε κόκκινο: τα εμβαδά <math>a^2</math>, <math>b^2</math> αριστερά, και τα εμβαδά <math>2ab \cos\gamma</math> και <math>c^2</math> δεξιά.
Γραμμή 64 ⟶ 63 :
* σε μπλέ: δύο φρές το τρίγωνο ABC, στα δεξιά όπως και στα αριστερά.
Οι ισότητες των εμβαδών στα αριστερά και δεξιά δίνουν:
:<math>\,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2</math>.
Για να αποδείξουμε πως τα δύο σχήματα είναι ίσα, χρησιμοποιούμε τα κριτήρια ισότητας τριγώνων<ref>http://digitalschool.minedu.gov.gr/modules/ebook/show.php/DSGL-A101/216/1551,4991/</ref>.
===Χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα===
[[
Το σχήμα 7 δείχνει πως αποδυκνείεται ο νόμος των συνημιτόνων για ένα οξυγώνιο, χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο Θεώρημα σε ένα περιεχόμενο ορθογώνιο τρίγωνο, σχηματιζόμενο από το ύψος του οξυγωνίου<ref>Küstner, Hellwitch, Kästner, ''Petite encyclopédie des mathématiques'', Édition Didier, 1980, ch 11-2, p 265</ref>. Το τελευταίο βήμα που δεν εμφανίζεται στην εικόνα είναι πως το Πυθαγόρειο Θεώρημα ισχύει για το ορθογώνιο, με [[υποτείνουσα]] την πλευρά c.
:<math>\,c^2 = (a\sin\gamma)^2 + (b-a\cos\gamma)^2</math>.
Η μέθοδος είναι παρόμοια για τα αμβλυγώνια.
===Χρησιμοποιώντας την γεωμετρία του κύκλου===
[[
Θεωρώ τον κύκλο με κέντρο Β και ακτίνα BC, ο οποίος τέμνει την πλευρά AC στο C και το Κ κατ'επέκταση. Από το [[Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών]]:
:<math>\mathrm{AB}^2 - \mathrm{BC}^2 = \overline{\mathrm{AC}}\cdot\overline{\mathrm{AK}} = \overline{\mathrm{AC}}\cdot(\overline{\mathrm{AC}}+\overline{\mathrm{CK}})</math>
όπου
:<math>c^2-a^2 = b\,(b-2a\ \cos\ \gamma)</math>.
Εδώ δεν χρειάζεται να αποδείξουμε κατά περιπτώσεις. Πράγματι οι αλγεβρικές ιδιότητες επιτρέπουν την παράλληλη απόδειξη για αμβλεία (<math>\overline{\mathrm{CK}} > 0</math>) και οξεία γωνία (<math>\overline{\mathrm{CK}} < 0</math>).<br/>
Ο [[Νικόλαος Κοπέρνικος]] στο βιβλίο του [[De Revolutionibus Orbium Coelestium|Περί των Περιστροφών των Ουρανίων Σφαιρών]] φαίνεται να χρησιμοποίησε το Θεώρημα των Τεμνόμενων Χορδών για να καθορίσει όλες τις γωνίες ενός τριγώνου, με γνωστά μήκη πλευρών <ref>N. Copernic, ''De révolutionibus orbium coelestium'', Livre I, Chapitre XII, paragraphe VII, p 20 ([[s:la:Pagina:Nicolai Copernici torinensis De revolutionibus orbium coelestium.djvu/54|Lire en ligne]]) l'autre utilisant la puissance d'un point par rapport à un cercle</ref>
: ερμηνευμένο μαθηματικά: <math>c^2-a^2</math>
Καταλήγει στο συμπέρασμα ότι, επειδή '' b'' είναι γνωστό, η ΑΚ είναι γνωστή
Γραμμή 111 ⟶ 109 :
|<math>=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,. </math>
|}
==Γενίκευση σε μη Ευκλείδειες γεωμετρίες==
Γραμμή 122 ⟶ 119 :
Στην περίπτωση σφαιρικού τριγώνου, ''a'', ''b'' και ''c'' αντιστοιχούν στη γωνιακή μέτρηση μεγάλων τμημάτων τόξου [BC], [CA] και [ΑΒ] (σχήμα 7)
===Σφαιρική γεωμετρία===
[[
Σε ένα [[σφαιρική τριγωνομετρία|σφαιρικό τρίγωνο]] ο Νόμος των Συνημιτόνων ερμηνεύεται ως εξής<ref>[http://www.madore.org/~david/math/carto.pdf le "cours" de cartographie de David Madore]</ref>:
:<math>\cos c = \cos a \, \cos b + \sin a \, \sin b \, \cos\gamma.</math>
Γραμμή 131 ⟶ 128 :
:<math>\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3).</math>
Υπάρχει μια παρόμοια ταυτότητα που συνδέει και τις τρεις γωνίες:
:<math>\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c</math
===Υπερβολική γεωμετρία===
Σε ένα [[Υπερβολική γεωμετρία|υπερβολικό τρίγωνο]] <ref>ABC [http://people.math.jussieu.fr/~boyer/fichiers/dea/td1.pdf ce TD de DEA] (mais qui utilise des connaissances assez avancées)</ref>:
:<math>\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma</math>.
Όταν η ακτίνα της καμπυλότητας γίνεται πολύ μεγάλη σε σύγκριση με το μέγεθος του τριγώνου:
Γραμμή 141 ⟶ 138 :
==Γενίκευση σε Ευκλείδειους Χώρους==
[[
Θεωρώ ένα [[
Το σχήμα 10 δείχνει τις κορυφές, επιφάνειες και γωνίες στο τετράεδρο:
* <math>\mathrm S_k</math> η επιφάνεια απέναντι από την κορυφή <math>\mathrm A_k\ </math>;
* <math>s_k</math> η επιφάνεια του <math>\mathrm S_k\ </math>;
* <math>\Delta_k</math> το [[
* <math>\theta_{ij}</math> η δίεδρη γωνία <math>(\Delta_i, \Delta_j)</math>.
Έτσι επιφάνειες και γωνίες επιβεβαιώνουν<ref>{{en}} Lee, J. R. "The Law of Cosines in a Tetrahedron." J. Korea Soc. Math. Ed. Ser. B: Pure Appl. Math. 4, 1-6, 1997.</ref> :
:<math>s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12} - 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}.\,</math>
== Παραπομπές ==
Γραμμή 157 ⟶ 153 :
{{Ενσωμάτωση κειμένου|fr|Théorème d'Al-Kashi}}
[[Κατηγορία:Τριγωνομετρία]]
[[Κατηγορία:Γεωμετρία]]
| |||