Λογάριθμος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ →Μουσική: ε |
|||
Γραμμή 186:
Για να οριστεί ο λογάριθμος, είναι αναγκαίο να δειχτεί ότι η εξίσωση
:<math>b^x = y \,</math>
έχει λύση ''x'' και ότι αυτή η λύση είναι μοναδική, υπό τον όρο ότι το ''y'' είναι θετικό και το ''b'' είναι θετικό και μη ίσο με τη μονάδα. Η απόδειξη αυτού απαιτεί το [[θεώρημα της ενδιάμεσης τιμής]] από τον στοιχειώδη [[λογισμό]].<ref name=LangIII.3>{{Citation |last1=Lang |first1=Serge |title=Undergraduate analysis |publisher=Springer-Verlag |location=Berlin, New York |edition=
Αυτή η ιδιότητα μπορεί να δειχτεί ότι ισχύει για τη συνάρτηση {{nowrap begin}}''f''(''x'') = ''b''<sup>''x''</sup>{{nowrap end}}. Επειδή η ''f'' παίρνει τυχαία μεγάλες και μικρές θετικές τιμές, οποιοσδήποτε αριθμός {{nowrap|''y'' > 0}} βρίσκεται μεταξύ του ''f''(''x''<sub>0</sub>) και ''f''(''x''<sub>1</sub>) για κατάλληλα ''x''<sub>0</sub> και ''x''<sub>1</sub>. Συνεπώς, το θεώρημα ενδιάμεσης τιμής διασφαλίζει ότι η εξίσωση ''f''(''x'') = ''y'' έχει λύση. Επιπροσθέτως, υπάρχει μόνο μία λύση για αυτή την εξίσωση, επειδή η ''f'' είναι [[μονότονη συνάρτηση|γνησίως αύξουσα]] (για {{nowrap|''b'' > 1}}), ή γνησίως φθίνουσα (για {{nowrap|0 < ''b'' < 1}}).<ref name=LangIV.2 />
| |||