Πραγματικός αριθμός: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μ επιμέλεια |
||
Γραμμή 1:
{{πηγές|23|06|2013}}
Στα [[μαθηματικά]], οι '''πραγματικοί αριθμοί''' γίνονται αντιληπτοί διαισθητικά ως το [[σύνολο]] όλων των αριθμών που είναι σε [[ένα προς ένα αντιστοιχία]] με τα [[σημείο|σημεία]] μιας άπειρης [[ευθεία]]ς, που καλείται ''ευθεία των πραγματικών αριθμών'' ή ''πραγματικός άξονας''. Ο όρος
Αν για τον αριθμό L ισχύει <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L </math> , όπου a<sub>n</sub> μια ρητή προσέγγιση του L με n δεκαδικά ψηφία, τότε ο L είναι πραγματικός αριθμός. Αυτό σημαίνει ότι πραγματικός είναι ο αριθμός του οποίου μπορούμε να γράψουμε
Οι πραγματικοί αριθμοί διακρίνονται σε [[ρητός αριθμός|ρητούς αριθμούς]] (που μπορούν να εκφραστούν ως κλάσματα με ακέραιο αριθμητή και παρονομαστή) και σε [[άρρητος αριθμός|άρρητους αριθμούς]] (που δεν μπορούν να εκφραστούν επακριβώς ως κλάσματα). Οι ρητοί μαζί με τους άρρητους αποτελούν ένα συνεχές.
Κάθε
== Αξιωματική Θεμελίωση των
Ονομάζουμε σύνολο των πραγματικών αριθμών ένα σύνολο <math>\R</math> το οποίο ικανοποιεί τα παρακάτω τρία αξιώματα:
* Το σύνολο <math>\R</math> αποτελεί [[Σώμα (άλγεβρα)|σώμα]]. Αναλυτικά:
Γραμμή 44:
== Η ευθεία των πραγματικών αριθμών ==
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μπορεί να παρασταθεί σε μια [[ευθεία]], της οποίας κάθε [[σημείο]] αντιστοιχεί σε έναν μοναδικό πραγματικό αριθμό. Στην ευθεία αυτή, τα σημεία είναι διατεταγμένα έτσι ώστε κινούμενοι από αριστερά προς τα δεξιά η τιμή των πραγματικών αριθμών να αυξάνεται. Έτσι, επιλέγοντας ένα σημείο x, κάθε σημείο αριστερά από αυτό αντιστοιχεί σε πραγματικό αριθμό μικρότερο από αυτόν που αντιστοιχεί στο x, ενώ κάθε σημείο δεξιά απ'αυτό αντιστοιχεί σε μεγαλύτερο πραγματικό αριθμό. Αν x=0, τότε αριστερά βρίσκονται όλα τα σημεία που αντιστοιχούν στους αρνητικούς πραγματικούς αριθμούς, ενώ δεξιά βρίσκονται τα σημεία που αντιστοιχούν στους θετικούς.
Γραμμή 60 ⟶ 59 :
== Τοπολογικές ιδιότητες ==
Το σύνολο των πραγματικών αριθμών μαζί με την [[ευκλείδεια μετρική]] αποτελούν [[μετρικός χώρος|μετρικό χώρο]].
Η συνήθης [[τοπολογία]] προκύπτει από
O <math>\R</math> δεν είναι [[συμπαγής μετρικός χώρος]]. Υπάρχει ''ανοιχτή κάλυψη'' του <math>\R</math> για την οποία δεν υπάρχει πεπερασμένη ανοιχτή υπο-κάλυψη.
Γραμμή 66 ⟶ 65 :
Ο <math>\R</math> είναι όμως ''τοπικά συμπαγής'', για κάθε πραγματικό αριθμό υπάρχει [[περιοχή (μαθηματικά)|περιοχή]] του, της οποίας η κλειστή θήκη είναι συμπαγής.
O <math>\R</math> είναι [[συναφής χώρος]], αφού δε μπορεί να διαιρεθεί σε
{{Αριθμοί}}
[[Κατηγορία:
[[Κατηγορία:Πραγματικοί αριθμοί| ]]
{{Link FA|sl}}
| |||