Διανυσματικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Ο '''διανυσματικός χώρος''' είναι μια [[Μαθηματική δομή|μαθηματική δομή]] η οποία αποτελείται από μια συλλογή [[Στοιχεία|στοιχείων]] που ονομάζονται '''διανύσματα'''. Τα διανύσματα μπορούν να [[Ευκλείδειο διάνυσμα#Πρόσθεση και Αφαίρεση διανυσμάτων|προστίθενται]] και να [[Ευκλείδειο διάνυσμα#Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα|πολλαπλασιάζονται]] (κλιμακωτά) με αριθμούς, οι οποίοι στο κείμενο θα ονομάζονται ως [[Μονόμετρο μέγεθος|βαθμωτά]]. Τα βαθμωτά είναι συνήθως [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικοί αριθμοί]], αλλά υπάρχουν και διανυσματικοί χώροι με βαθμωτό πολλαπλασιασμό [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], [[Ρητός αριθμός|ρητών αριθμών]] ή γενικά οποιουδήποτε [[Σώμα (άλγεβρα)|σώματος]]. Οι πράξεις της πρόσθεσης και του βαθμωτού πολλαπλασιασμού πρέπει να πληρούν κάποιες προϋποθέσεις, οι οποίες καλούνται [[Αξίωμα|αξιώματα]], παρατίθενται [[#Ορισμός|παρακάτω]]. Ένα παράδειγμα διανυσματικού χώρου είναι αυτός των [[Ευκλείδειο διάνυσμα|ευκλείδειων διανυσμάτων]], τα οποία μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να αναπαραστήσουν [[Φυσική|φυσικές]] ποσότητες όπως είναι οι [[Δύναμη|δυνάμεις]]• οποιαδήποτε δυο διανύσματα δυνάμεων (ίδιου τύπου) μπορούν να προστεθούν για να παράγουν ένα τρίτο και ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος δύναμης με έναν πραγματικό πολλαπλασιαστή, είναι ένα νέο διάνυσμα δύναμης. Από [[Γεωμετρία|γεωμετρικής]] άποψης, τα διανύσματα που εκπροσωπούν μετατοπίσεις στο επίπεδο ή στον [[Τρισδιάστατος χώρος|τρισδιάστατο χώρο]] αποτελούν επίσης διανυσματικούς χώρους.

Οι διανυσματικοί χώροι είναι αντικείμενο μελέτης της [[Γραμμική άλγεβρα|γραμμικής άλγεβρας]] μιας και χαρακτηρίζονται από τη [[Διάσταση|διάστασή]] τους, η οποία καθορίζει τον αριθμό των ανεξάρτητων κατευθύνσεων στο χώρο. Ο διανυσματικός χώρος μπορεί να να εμπλουτιστεί με πρόσθετη δομή όπως είναι το [[Μέτρο διανύσματος|μέτρο διανύσματος]] και το [[Εσωτερικό γινόμενο|εσωτερικό γινόμενο]].

Ιστορικά, οι πρώτες ιδέες που οδήγησαν στους διανυσματικούς χώρους μπορούν να εντοπιστούν πίσω στον χρόνο όσον αφορά την [[Αναλυτική γεωμετρία|αναλυτική γεωμετρία]] του 17ου αιώνα, τους [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακες]], τα συστήματα [[Εξίσωση ευθείας|εξισώσεων ευθείας]], και τα Ευκλείδεια διανύσματα. Η σύγχρονη, πιο αφηρημένη αναφορά έγινε από τον [[Τζουζέπε Πεάνο]] το 1888. Σήμερα οι διανυσματικοί χώροι βρίσκουν εφαρμογή στο σύνολο των μαθηματικών, της [[Επιστήμη|επιστήμηςεπιστήμη]]ς και στις [[Επιστήμες μηχανικών|επιστήμες μηχανικών]].

Το πρώτο παράδειγμα ενός διανυσματικού χώρου αποτελείται από τα [[Βέλη(μαθηματικά)|βέλη]] σε ένα σταθερό [[Επίπεδο|επίπεδο]], ξεκινώντας από ένα σταθερό σημείο. Αυτό χρησιμοποιείται στη φυσική για να περιγράψει τις δυνάμεις και τις [[Ταχύτητα|ταχύτητες]]. Έχοντας δυο τέτοια βέλη, '''v''' και '''w''', το [[Παραλληλόγραμμο|παραλληλόγραμμο]] που σχηματίζουν, περιέχει ένα διαγώνιο βέλος το οποίο έχει αρχή το κοινό σημείο των δυο αρχικών βελών. Αυτό το νέο βέλος ονομάζεται ''άθροισμα'' των δυο βελών και συμβολίζεται με '''v'''+'''w'''. Μια άλλη διεργασία που μπορεί να επιτευχθεί με τα βέλη είναι η εξής: δίνεται ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός α και το βέλος με φορά ίδια με αυτή του '''v''', αλλά επεκτείνεται ή συρρικνώνεται πολλαπλασιάζοντάς το με το μήκος του α, η πράξη αυτή ονομάζεται ''πολλαπλασιασμός του '''v''' με α. Συμβολίζεται με α'''v'''. Αν ο αριθμός α είναι αρνητικός, τότε το α'''v''' ορίζεται ως βέλος που δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Οι παρακάτω εικόνες δείχνουν δυο παραδείγματα: αν α=2, το διάνυσμα που προκύπτει α'''w''' έχει την ίδια κατεύθυνση με το '''w''', αλλά είναι επεκτεταμένο κατά το διπλάσιο μήκος του (δεξιά εικόνα). Ισοδύναμα 2'''w''' είναι το άθροισμα '''w''' + '''w'''. Επιπλέον, (-1)'''v'''= -'''v''', έχει την αντίθετη κατεύθυνση αλλά το ίδιο μήκος με το '''v'''.

Ένας διανυσματικός χώρος πάνω από ένα σώμα ''Κ'' είναι ένα [[Σύνολο|σύνολο]] ''V'' εφοδιασμένο με δυο πράξεις, οι οποίες ικανοποιούν τα οχτώ αξιώματα που παρατίθενται παρακάτω. Τα στοιχεία του συνόλου V ονομάζονται ''διανύσματα''. Τα στοιχεία του συνόλου ''Κ'' ονομάζονται ''βαθμωτά''. Στα δύο παραπάνω παραδείγματα, το σύνολο μας αποτελείται από τα επίπεδα βέλη με σταθερό σημείο εκκίνησης και τα ζεύγη των πραγματικών αριθμών, αντίστοιχα, ενώ το σώμα μας είναι οι πραγματικοί αριθμοί.

Όταν το βαθμωτό σώμα Κ είναι οι [[Πραγματικός αριθμός|πραγματικοί]] αριθμοί]] '''R''', ο διανυσματικός χώρος ονομάζεται ''πραγματικός διανυσματικός χώρος''. Όταν το βαθμωτό σώμα είναι των [[Μιγαδικός αριθμός|μιγαδικών αριθμών]], αυτό ονομάζεται ''μιγαδικός διανυσματικός χώρος''. Αυτές οι δύο περιπτώσεις είναι εκείνες που χρησιμοποιούνται πιο συχνά στη μηχανική. Ο πιο γενικός ορισμός ενός διανυσματικού χώρου, επιτρέπει βαθμωτά να είναι τα στοιχεία του οποιουδήποτε σταθερού σώματος Κ. Η έννοια είναι γνωστή τότε ως ένα ''Κ-διανυσματικός χώρος'' ή ''διανυσματικός χώρος επί του Κ''. Ένα σώμα είναι, ουσιαστικά, ένα σύνολο αριθμών που διαθέτει τις πράξεις της [[Πρόσθεση|πρόσθεσηςπρόσθεση]]ς, της [[Αφαίρεση|αφαίρεσηςαφαίρεση]]ς, του [[Πολλαπλασιασμός|πολλαπλασιασμού]] και της [[Διαίρεση|διαίρεσηςδιαίρεση]]ς. Για παράδειγμα, οι [[Ρητός αριθμός|ρητοί]] αριθμοί αποτελούν επίσης ένα σώμα.

Γενικά στους διανυσματικούς χώρους δεν υπάρχουν οι έννοιες της [[Γειτονιά (μαθηματικά)|εγγύτητας]], της [[Γωνία|γωνίαςγωνία]]ς ή της [[Απόσταση (γεωμετρία)|απόστασης]]. Για να αντιμετωπίσουμε αυτό το πρόβλημα εισάγουμε παρακάτω συγκεκριμένους τύπους διανυσματικών χώρων.

Στην αφηρημένη άλγεβρα, τα πρώτα τέσσερα αξιώματα μπορούν να υπαχθούν απαιτώντας το σύνολο των διανυσμάτων να είναι μια [[Αβελιανή ομάδα|αβελιανή ομάδα]] κάτω από ένα μόνο αξίωμα. Τα υπόλοιπα αξιώματα δίνουν μια συγκεκριμένη ομάδα την δομή Κ-[[Πρότυπο (άλγεβρα)|module]]. Με άλλα λόγια, υπάρχει ένας [[Ομομορφισμός δακτυλίων|δακτύλιος ομομορφισμού]] f από το πεδίο Κ στο δακτύλιο ενδομορφισμού της ομάδας των διανυσμάτων. Τότε ο βαθμωτός πολλαπλασιασμός α'''v''' ορίζεται ως (f (α)) (ν).

Το πιο απλό παράδειγμα διανυσματικών χώρων πάνω από ένα σώμα Κ είναι το ίδιο το σώμα, εφοδιασμένο με τις συνήθης πράξεις της πρόσθεση και του πολλαπλασιασμού.Γενικότερα, ένας διανυσματικός χώρος μπορεί να αποτελείται από n-[[Πλειάδες|πλειάδες]] (ακολουθίες μήκους n) των στοιχείων του Κ, όπως:

Ένας διανυσματικός χώρος που αποτελείται από το σύνολο των n-[[Πλειάδες|πλειάδων]] ενός πεδίου Κ είναι γνωστός ως ένας [[Χώρος συντεταγμένων|χώρος συντεταγμένων]], που συνήθως συμβολίζονται με Fⁿ. Η περίπτωση n = 1 είναι το προαναφερθέν απλούστερο παράδειγμα, στο οποίο το σώμα Κ θεωρείται επίσης ως ένας διανυσματικός χώρος πάνω από τον εαυτό του. Η περίπτωση F = '''R''' και n = 2 συζητήθηκε στο παράδειγμα 2 [[#Παράδειγμα δεύτερο: διατεταγμένα ζεύγη αριθμών|παραπάνω]].

Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών '''C''', δηλαδή, οι αριθμοί που μπορούν να γραφτούν στη μορφή x + iy για τους πραγματικούς αριθμούς x και y, όπου <math>i = \sqrt{-1}</math> να είναι η [[Φανταστική μονάδα|φανταστική μονάδα]],σχηματίζουν ένα διανυσματικό χώρο πάνω από τους πραγματικούς αριθμούς με τη συνήθη πρόσθεση και πολλαπλασιασμό: (x + iy) + (a + ib) = (+ a x) + i (y + b) και <math> c \cdot (x + iy) = (c\cdot x) + i (c \cdot y)</math> για πραγματικούς αριθμούς x,y,a,b και c. Τα αξιώματα των διανυσματικών χώρων ισχύουν και για τους μιγαδικούς μιας και ισχύουν οι ίδιοι κανόνες για τις αριθμητικές πράξεις και στους μιγαδικούς.

Γενικότερα, οι [[ΕπεκτάσειςΕπέκταση σωμάτωνσώματος|επεκτάσεις σωμάτων]] παρέχουν μια άλλη κατηγορία παραδειγμάτων των διανυσματικών χώρων: ένα σώμα Κ που περιέχει ένα μικρότερο σώμα E, είναι ένας Ε-διανυσματικός χώρος, με τον δεδομένο πολλαπλασιασμό και τις λειτουργίες της πρόσθεση του Κ. Για παράδειγμα οι μιγαδικοί αριθμοί είναι ένας διανυσματικός χώρος πάνω από το '''R''' και το επεκτεταμένο σώμα <math>\mathbf{Q}(i\sqrt{5})</math> είναι διανυσματικός χώρος πάνω από το '''Q'''.

4 & 2 & 2\end{bmatrix}</math> είναι ο πίνακας που περιέχει τους συντελεστές των δοθέντων εξισώσεων, '''x''' είναι το διάνυσμα (α,β,γ), ως A'''x''' δηλώνεται το [[Γινόμενο των πινάκων|γινόμενο των πινάκων]] και '''0'''=(0,0) το μηδενικό διάνυσμα. Σε παρόμοιο ύφος, οι λύσεις ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεων αποτελούν διανυσματικό χώρο. Για παράδειγμα

[[File:Vector components and base change.png|200px|thumb|right|Ένα διάνυσμα v στον R² (μπλε) εκφράζεται σε διαφορετικές βασεις: χρησιμοποιώντας την [[Κανονική βάση |κανονική βάση]] του R²v = xe₁ + ye₂ (μαύρο), και χρησιμοποιώντας μία διαφορετική, όχι [[Ορθογωνιότητα |ορθογώνια]] βάση: v = f₁ + f₂ (κόκκινο).]]Οι βάσεις επιτρέπουν την εισαγωγή [[Διατεταγμένο διάνυσμα |συντεταγμένων]] ως μέσο αναπαράστασης διανυσμάτων. Μια βάση είναι μια (πεπερασμένη ή μη πεπερασμένη) ομάδα Β={b_i} διανυσμάτων b_i, για ευκολία συχνά έχει ως δείκτες ένα [[σύνολο δεικτών|σύνολο δεικτών]] I , που συνδέει όλο το χώρο και είναι [[Γραμμική ανεξαρτησία|γραμμικά ανεξάρτητη]]. «Σύνδεση όλου του χώρου» σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα v μπορεί να εκφραστεί ως ένα πεπερασμένο άθροισμα (ονομάζεται [[Γραμμικός συνδυασμός |γραμμικός συνδυασμός]]) των στοιχείων υηςτης βάσης:

Για παράδειγμα, τα [[Διατεταγμένο διάνυσμα |διατεταγμένα διανύσματα]] e₁=(1,0,…,0), e₂=(0,1,…,0), μέχρι το e_n=(0,0,…,1), από μία βάση του Fⁿ, ονομάζεται [[Κανονική βάση |κανονική βάση]], αφού κάθε διάνυσμα (x₁, x₂,…,x_n) μπορεί να εκφραστεί μοναδικά ως γραμμικός συνδυασμός

Κάθε διανυσματικός χώρος έχει μία βάση. Αυτό συνάγεται από [[Το λήμμα του Zorn |το λήμμα του Zorn]], έναν ισοδύναμο τύπο από το [[Αξίωμα της επιλογής| αξίωμα της επιλογής]]. Δεδομένων των άλλων αξιωμάτων [[Σύνολο θεωρίας των Zermelo-Fraenkel |της θεωρίας των συνόλων των Zermelo-Fraenkel]], η ύπαρξη βάσεων είναι ισοδύναμη με το αξίωμα της επιλογής. Το [[Το λήμμα του υπερφίλτρου |το λήμμα του υπερφίλτρου]], το οποίο είναι πιο αδύναμο από το αξίωμα της επιλογής, υπονοεί ότι όλες οι βάσεις ενός δοσμένου διανυσματικού χώρου έχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων, ή [[Πληθάριθμος | πληθάριθμο]] ''[[θεώρημα διάστασης για διανυσματικούς χώρους |θεώρημα διάστασης για διανυσματικούς χώρους]]''. Ονομάζεται ''διάσταση'' του διανυσματικού χώρου, συμβολίζεται με dimV. Αν ο χώρος συνδέεται από πολλά πεπερασμένα διανύσματα οι παρακάτω προτάσεις μπορούν να αποδειχθούν χωρίς τόσο θεμελιώδη συμβολή από τη θεωρία συνόλων.

Η διάσταση από το διατεταγμένο χώρο Fⁿ είναι n, από τη βάση που παρουσιάζεται πιο πάνω. Η διάσταση του πολυωνυμικού δακτυλίου F[x] που παρουσιάστηκε πιο πάνω είναι [[αριθμητικά άπειρη |αριθμητικά άπειρη]], η βάση έχει δοθεί 1, x, x²,… [[Το κυριότερο επιχείρημα |Κατά μείζονα λόγο]], η διάσταση πιο γενικών συναρτησιακών χώρων, όπως ο χώρος των συναρτήσεων σε κάποια (φραγμένα ή μη φραγμένα) μεσοδιαστήματα, είναι άπειρη. Κάτω από βολική ομαλότητα, υποθέσεις σε συντελεστές που συμπεριλαμβάνονται, η διάσταση του χώρου των λύσεων μιας ομογενούς [[Συνήθης διαφορική εξίσωση | συνηθισμένηςσυνήθους διαφορικής εξίσωσης]] ισούται με το βαθμό της εξίσωσης. Για παράδειγμα, ο χώρος των λύσεων για την παραπάνω εξίσωση παράγεται από e^-x και το xe^-x. Αυτές οι δύο συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο '''R''', οπότε η διάσταση του χώρου είναι δύο, όπωε και ο βαθμός της εξίσωσης.

Η προέκταση του πεδίου πέρα από τα λογικά '''Q''' μπορεί να θεωρηθεί ως ένας διανυσματικός χώρος περα από το '''Q''' (ορίζοντας προσθήκη διανύσματος σαν προσθήκη πεδίου, ορίζοντας το βαθμωτό πολλαπλασιασμό ως πεδίο πολλαπλασιασμού από στοιχείο του '''Q''' και ειδάλλως αγνοώντας το πεδίο πολλαπλασιασμού). Η διάσταση (ή [[Βαθμός ή επέκταση πεδίου |βαθμός)]] της επέκτασης πεδίου '''Q'''(a) πέρα από τον '''Q''' εξαρτάται από το a. Αν το a προϋποθέτει κάποια πολυωνυμική εξίσωση

(«το a είναι [[Αλγεβρικός αριθμός | αλγεβρικό ]], η διάσταση είναι πεπερασμένη. Ειδικότερα, αυτή ισούται με το βαθμό του ελάχιστου πολυωνύμου έχοντας το a ως [[Ρίζα(μαθηματικά) |ρίζα]]. Για παράδειγμα, οι σύνθετοι αριθμοί '''C''' είναι ένας πραγματικός δυσδιάστατοςδισδιάστατος διανυσματικός χώρος, που παράγεται από το 1 και τη φανταστική μονάδα ''i''. Η τελευταία ικανοποιεί την ''i''² + 1 = 0, μια εξίσωση με βαθμό δύο. Έτσι, ο '''C''' είναι ένας δυσδιάστατοςδισδιάστατος '''R'''-διανυσματικός χώρος (και, όπως κάθε πεδίο, μονοδιάστατος όπως ένας διανυσματικός χώρος στον εαυτό του, '''C'''). Αν το a δεν είναι αλγεβρικό, η διάσταση του '''Q'''(a) στον '''Q''' είναι άπειρη. Για παράδειγμα, για a = π δεν υπάρχει τέτοια εξίσωση, δηλαδή το π είναι υπερβατικό.

Ένας ισομορφισμός είναι μία γραμμική απεικόνιση ''f'': ''V''→ ''W'' έτσι ώστε να υπάρχει μία αντίστροφη απεικόνιση ''g'': ''W''→ ''V'', η οποία είναι μια απεικόνιση όπου οι δύο πιθανές [[Σύνθεση συνάρτησης | συνθέσεις]] ''f''º''g'' : ''W''→ ''W'' και ''g''º''f'' : ''V''→ ''V'' να είναι ταυτοτικές απεικονίσεις. Ισοδύναμα, η ''f'' είναι 1-1 ([[Ένα προς ένα |ένεση]]) και επί (έφεση). Αν υπάρχει ένας ισομορφισμός ανάμεσα στο ''V'' και στο ''W'', οι δύο χώροι λέγονται ''ισομορφικοί''· αυτοί είναι τότε ουσιαστικά ταυτοτικοί ως διανυσματικοί χώροι, εφόσον όλες οι ταυτότητες που ανήκουν στο V μέσω της ''f'', μεταφέρονται σε παρόμοιες στον W και αντίστροφα μέσω της ''g''.

Για παράδειγμα, τα «βέλη στο επίπεδο» και τα «διατεταγμένα ζεύγη αριθμών» στους διανυσματικούς χώρους είναι ισομορφικά: ένα σχεδιασμένο βέλος '''v''' που παρεκκλίνει στην αρχή κάποιου (αναθεωρημένου) [[Σύστημα αναφοράς | συστήματος αναφοράς]] μπορεί να εκφραστεί σαν ένα διατεταγμένο ζεύγος λαμβάνοντας υπόψη το ''x''-και ''y''-στοιχείο του βέλους, όπως φαίνεται στην εικόνα στα δεξιά. Αντίστροφα, έχοντας ένα ζεύγος (''x'',''y''), το βέλος πηγαίνοντας απ’ το ''x'' στα δεξιά (ή στα αριστερά, αν το ''x'' είναι αρνητικό), και απ’ το ''y'' πάνω (ή κάτω, αν το ''y'' είναι αρνητικό) γυρίζει πίσω το βέλος '''v'''.