[[FileΑρχείο:Vector components and base change.png|200px|thumb|right|Ένα διάνυσμα v στον R<sup>2</sup> (μπλε) εκφράζεται σε διαφορετικές βασειςβάσεις: χρησιμοποιώντας την [[κανονική βάση]] του R<sup>2</sup>v = xe<sub>1</sub> + ye<sub>2</sub> (μαύρο), και χρησιμοποιώντας μία διαφορετική, όχι [[Ορθογωνιότητα|ορθογώνια]] βάση: v = f<sub>1</sub> + f<sub>2</sub> (κόκκινο).]]Οι βάσεις επιτρέπουν την εισαγωγή [[Διατεταγμένο διάνυσμα|συντεταγμένων]] ως μέσο αναπαράστασης διανυσμάτων. Μια βάση είναι μια (πεπερασμένη ή μη πεπερασμένη) ομάδα Β={b<sub>i</sub>} διανυσμάτων b<sub>i</sub>, για ευκολία συχνά έχει ως δείκτες ένα [[σύνολο δεικτών]] I , που συνδέει όλο το χώρο και είναι [[Γραμμική ανεξαρτησία|γραμμικά ανεξάρτητη]]. «Σύνδεση όλου του χώρου» σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα v μπορεί να εκφραστεί ως ένα πεπερασμένο άθροισμα (ονομάζεται [[γραμμικός συνδυασμός]]) των στοιχείων της βάσης:
V = a<sub>1</sub>b<sub>i1</sub> + a<sub>2</sub>b<sub>i2</sub> +…+a <sub>n</sub>b<sub>in</sub>,
