Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Θεωρία υπολογισιμότητας»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
# Αντικείμενο αριθμημένης λίστας
# Αντικείμενο αριθμημένης λίστας
# Αντικείμενο αριθμημένης λίστας
# Αντικείμενο αριθμημένης λίστας
Η '''Θεωρία της Υπολογισιμότητας''' ή '''Θεωρία της Αναδρομής''', είναι ένας κλάδος της [[μαθηματική λογική|μαθηματικής λογικής]], της [[πληροφορική]]<nowiki/>ς και της [[Θεωρία υπολογισμού|θεωρίας υπολογισμού]] που προήλθε από την έρευνα των υπολογίσιμων συναρτήσεων και του βαθμού Turing(=βαθμος μη επιλυσιμότητας) στα μέσα της δεκαετίας του 1930.
 
Η Θεωρία της Αναδρομής συνδυάζεται με την Θεωρία των Αποδείξεων,με την Αποτελεσματική Περιγραφική Θεωρία Συνόλων, την [[Θεωρία μοντέλων|Θεωρια Μοντέλων]] και την Αφηρημένη Άλγεβρα. Μάλιστα, Θα μπορούσαμε να χαρακτηρίσουμε οτι η Θεωρία της Πολυπλοκότητας είναι γέννημα της Αναδρομικής Θεωρίας καθώς και οι δύο μοιράζονται ίδιο τεχνικό εργαλείο ,δηλαδή το Turing Machine.
 
'''Πεδία Έρευνας'''
Κυρίως με την Θεωρία των Αναδρομικών Συνόλων και Συναρτήσεων ο χώρος έρευνας της Θεωρίας της Αναδρομής έχει επεκταθεί σε πολλές σχετικές θεωρίες :
'''Σχετική Υπολογισιμότητα και Βαθμός Turing'''
Η θεωρία της αναδρομής στη Μαθηματική λογική παραδοσιακά εστιαζόταν στη σχετική υπολογισιμότητα, μια γενίκευση της υπολογισιμότητας Turing,που καθορίζεται χρησιμοποιώντας μια μηχανή χρησμού Turing που παρουσιάστηκε από τον Turing(1939). Μια μηχανή χρησμού Turing, είναι μία υποθετική συσκευή, η οποία εκτός από τις παραδοσιακές ενέργειες μιας μηχανής Turing, μπορεί να κάνει ερωτήσεις για ένα συγκεκριμένο σύνολο ακέραιων αριθμών.Η μηχανή oracle μπορεί να κάνει ερωτήσεις της μορφής <<Είναι το n στο σύνολο oracle;>> Κάθε ερώτηση θα απαντάται άμεσα σωστά ακόμη και αν το σύνολο δεν είναι υπολογίσιμο.
 
Τα φυσικά παραδείγματα των συνόλων που δεν είναι υπολογίσιμα, συμπεριλαμβανομένων πολλών διαφορετικών συνόλων που κωδικοποιούν παραλλαγές του προβλήματος τερματισμού, έχουν δύο κοινές ιδιότητες:
 
# 1.Είναι αναδρομικά αριθμήσιμα, και
# 2.Κάθε ένα μπορεί να μεταφραστεί σε οποιοδήποτε άλλο μέσω πολλών-μίας μείωσης.Δηλαδή, δεδομένων τέτοιων συνόλων Α και Β, υπάρχει μία συνολική λειτουργία τέτοια ώστε Α={x:f(x)∈B} Αυτά τα σύνολα λέγεται ότι είναι πολλές-ένα ισοδύναμο (ή m-ισοδύναμο).
 
Οι πολλές-μια μειώσεις είναι «ισχυρότερες» από τις μειώσεις Turing: εάν ένα σύνολο Α είναι αναγώγιμο σε ένα σύνολο Β, τότε το Α μπορεί να αναχθεί σε B, αλλά το αντίστροφο δεν είναι πάντα εφικτό. Παρά το γεγονός ότι τα φυσικά παραδείγματα μη-υπολογίσιμων συνόλων είναι όλα πολλά-ένα ισοδύναμα, είναι δυνατόν να κατασκευαστούν αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολα Α και Β, έτσι ώστε το Α να ανάγεται στο Β, αλλά όχι πολλά-ένα αναγώγιμο στο Β. Μπορεί να δειχθεί ότι κάθε αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολο είναι πολλά-ένα αναγώγιμο στο πρόβλημα τερματισμού, και έτσι το πρόβλημα τερματισμού είναι το πιο περίπλοκο αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολο σε σχέση με πολλές-ένα αναγωγές και με αναφορά προς την αναγωγή Turing. Ο Post (1944) ρώτησε αν κάθε αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολο είναι είτε υπολογίσιμο ή Turing ισοδύναμο με το πρόβλημα τερματισμού, δηλαδή, αν δεν υπάρχει αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολο με ένα βαθμό Turing ενδιάμεσο μεταξύ των δύο.
Μεγάλο μέρος της πρόσφατης έρευνας για τους βαθμούς Turing έχει επικεντρωθεί στη συνολική δομή του συνόλου των βαθμών Turing και το σύνολο των βαθμών που περιέχουν αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολα.Ένα βαθύ θεώρημα του Shore και Slaman (1999) αναφέρει ότι η χαρτογράφηση της συνάρτησης βαθμού x με το βαθμό του άλματος Turing της,είναι προσδιορίσιμο με τη μερική σειρά των βαθμών Turing. Μια πρόσφατη έρευνα από τους Ambos-Spies και Fejer (2006) παρέχει μια επισκόπηση της έρευνας και της ιστορικής εξέλιξης της.
 
'''Άλλες Αναγωγισιμότητες'''
 
'''Άλλες Αναγωγισιμότητες'''
Η εν εξελίξει τομέα της έρευνας στη θεωρία αναδρομής μελετά τις σχέσεις αναγωγισιμότητας πλην της αναγωγισιμότητας του Turing . Ο Post (1944) εισήγαγε αρκετές ισχυρές αναγωγισιμότητες, που ονομάστηκαν έτσι επειδή υπαινίσσονται τραπέζι αληθινής αναγωγισιμότητας. Μια μηχανή Turing για την εφαρμογή μιας ισχυρής αναγωγισιμότητας θα υπολογίσει μια συνολική συνάρτηση ανεξάρτητα από το με ποιό oracle παρουσιάζεται. Ασθενείς αναγωγές είναι εκείνες όπου η διαδικασία μείωσης δεν μπορεί να τερματιστεί για όλα τα σύνολα αριθμών. Η αναγωγή του Turing είναι ένα παράδειγμα.
 
Όπως τις:
 
'''Μία προς μία αναγωγισιμότητα'''
Το Α είναι το ένα προς ένα αναγώγιμο (ή 1-αναγώγιμο) στο Β αν υπάρχει μια συνολική υπολογίσιμη αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση τέτοια ώστε κάθε n είναι στην Α αν και μόνο αν το f(n) είναι στο Β.
 
'''Πολλές προς μία αναγωγισιμότητα'''
Αυτό είναι ουσιαστικά η αναγωγή ένα προς ένα χωρίς τον περιορισμό ότι το f είναι αμφιμονοσήμαντο. Το Α είναι πολλοί προς ένα αναγώγιμο (ή m-αναγώγιμη) στο Β, αν υπάρχει μια συνολικά υπολογίσιμη συνάρτηση, έτσι ώστε κάθε n ανήκει στο A αν και μόνο αν το f(n) είναι στο Β.
 
'''Αναγωγισιμότητα του Πίνακα Αληθείας'''
Το Α είναι αληθινά αναγώγιμο σε πίνακα Β,αν το Α είναι αναγώγιμο κατά Turing στο Β μέσω της μηχανής Turing που υπολογίζει μια συνολική συνάρτηση. Λόγω του συμπαγούς του Cantor χώρου , αυτό είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι η μείωση παρουσιάζει έναν ενιαίο κατάλογο ερωτήσεων (εξαρτώμενο μόνο από την είσοδο) στο oracle ταυτόχρονα,και στη συνέχεια, έχοντας δει τις απαντήσεις τους είναι σε θέση να παράγει ένα αποτέλεσμα χωρίς να ζητήσει πρόσθετες ερωτήσεις,ανεξάρτητα με την απάντησης του oracle των αρχικών ερωτημάτων. Πολλές παραλλαγές του πίνακα αληθινής αναγωγής έχουν επίσης μελετηθεί.
Περαιτέρω αναγωγές(θετική,διαζευκτική,συνδετική,γραμμική και οι αδύναμες και δυνατές μορφές τους) συζητούνται στο άρθρο Μείωση (θεωρία αναδρομής) .
Οι αναγωγές που είναι ασθενέστερες από ότι η αναγωγή του Turing (δηλαδή, αναγωγές που υπονοούνται από την αναγωγή του Turing) έχουν επίσης μελετηθεί.Οι πιο γνωστές είναι αριθμητικές αναγωγές και υπεραριθμητική αναγωγή.Αυτές οι αναγωγές συνδέονται στενά με την οριστικοποίηση πάνω από το καθιερωμένο μοντέλο της αριθμητικής.
 
'''Το Θεώρημα του Rice και η Αριθμητική Ιεραρχία'''
Ο Ράις έδειξε ότι για κάθε μη τετριμμένη κατηγορία C (η οποία περιέχει ορισμένα αλλά όχι όλα τα σύνολα) στο ενδεικτικό σύνολο E = {e: το e στο We είναι στο C} έχει την ιδιότητα ότι είτε το πρόβλημα τερματισμού ή το συμπλήρωμά της είναι πολλές -ένα αναγώγιμο στο E, δηλαδή, μπορεί να χαρτογραφηθούν με τη χρήση πολλών-μίας αναγωγής έως Ε (βλ. θεώρημα της Ράις για περισσότερες λεπτομέρειες). Όμως,πολλά από αυτά τα ενδεικτικά σύνολα είναι ακόμη πιο περίπλοκα από ότι το πρόβλημα τερματισμού.Τα εν λόγω είδη συνόλων μπορούν να ταξινομηθούν χρησιμοποιώντας την αριθμητική ιεραρχία.Για παράδειγμα,το ενδεικτικό σύνολο FIN της τάξης όλων των πεπερασμένων συνόλων είναι στο επίπεδο Σ2 , το ενδεικτικό σύνολο REC της τάξης όλων των αναδρομικών συνόλων είναι στο επίπεδο Σ3,το ενδεικτικό σύνολο COFIN όλων των ομοτελικών συνόλων είναι επίσης στο επιπέδου Σ3 και το ενδεικτικό σύνολο COMP της κατηγορίας όλων των ολοκληρωμένων συνόλων Turing στο Σ4.Αυτά τα επίπεδα ιεραρχίας ορίζονται επαγωγικά, Σn+1 και περιέχονται ακριβώς όλα τα σύνολα που είναι αναδρομικά αριθμήσιμα σε σχέση με το Σn.Το Σ1 περιέχει τα αναδρομικά αριθμήσιμα σύνολα.Τα ενδεικτικά σύνολα που δίνονται εδώ είναι πλήρεις ακόμη και για τα επίπεδά τους,δηλαδή όλα τα σύνολα σε αυτά τα επίπεδα μπορεί να είναι πολλά προς ένα αναγώγιμα στα ενδεικτικά δοσμένα σύνολα.
 
23

επεξεργασίες