Σειρές Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
{{επιμέλεια}}
{{πηγές}}
Στα [[μαθηματικά]], μια '''σειρά Fourier''' ('''σειρά Φουριέ''' - αγγλική προφορά: / fɔərieɪ /) είναι ένας τρόπος για να περιγραφεί ένα κύμα που μοιάζει να λειτουργεί ως ένας συνδυασμός απλών ημιτονοειδών κυμάτων. Πιο επίσημα, αποσυνθέτει κάθε [[περιοδική συνάρτηση]] ή περιοδικό σήμα στο άθροισμα (ενδεχομένως άπειρο) ενός συνόλου απλών συναρτήσεων ταλάντωσης, δηλαδή [[
Οι σειρές Fourier είναι ένα ιδιαίτερα χρήσιμο εργαλείο του Λογισμού που βρίσκει πολλές εφαρμογές σε διάφορα πεδία της επιστήμης, πχ στις χρονολογικές σειρές στην στατιστική, στην ανάλυση σήματος και εικόνας, στην οικονομετρία, την μηχανική κλπ.
Γραμμή 14:
==
Η σειρά Fourier πήρε το όνομά της προς τιμήν του [[Jean-Baptiste Joseph Fourier]] (1768-1830), ο οποίος έκανε σημαντικές συνεισφορές στη μελέτη των [[τριγωνομετρική σειρά|τριγωνομετρικών σειρών]], μετά από προκαταρκτικές έρευνες από τον [[Leonhard Euler]], [[Jean le Rond d'Alembert]], και [[Daniel Bernoulli]]. Ο Fourier εισήγαγε τη σειρά με σκοπό την επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας σε μια μεταλλική πλάκα, δημοσιεύοντας τα πρώτα αποτελέσματα του το 1807 [[Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides]] (Διατριβή στην διάδοση της θερμότητας σε στερεά σώματα), και με την δημοσίευση Théorie analytique de la chaleur (Αναλυτική Θεωρία της Θερμότητας) το 1822. Η πρώτη ιδέα για την αποσύνθεση μιας περιοδικής συνάρτησης σε άθροισμα απλών συναρτήσεων ταλάντωσης, που χρονολογείται περίπου τον 3ο αιώνα π.Χ., όπου οι αρχαίοι αστρονόμοι πρότειναν ένα εμπειρικό μοντέλο πλανητικών κινήσεων, στηριζόμενο στην [[κυκλική τροχιά]].
Γραμμή 24:
Αν και ο πρωταρχικός στόχος ήταν η επίλυση της εξίσωσης θερμότητας, αργότερα έγινε φανερό ότι οι ίδιες τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν σε ένα ευρύ φάσμα προβλημάτων μαθηματικών και φυσικής, και ιδιαίτερα προβλήματα που αφορούν γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, για τις οποίες οι ιδιοσυναρτήσεις είναι ημιτονοειδών μορφών. Η σειρά Fourier έχει πολλές τέτοιες εφαρμογές στον τομέα της [[ηλεκτρολογία|ηλεκτρολογίας]],της [[ανάλυση κραδασμών|ανάλυσης κραδασμών]],στην [[ακουστική]], [[ οπτική]], [[επεξεργασία σήματος]], [[επεξεργασίας εικόνας|επεξεργασία εικόνας]], στην [[κβαντομηχανική]], [[οικονομετρία]], στη θεωρία [[λεπτού κέλυφους με τοιχώματα]], κ.τ.λ.
==
Σε αυτή την ενότητα, s (x) είναι μια συνάρτηση της πραγματικής μεταβλητής x, ολοκληρώσιμη στο διάστημα <math>\scriptstyle [x_0,\ x_0+P],</math> , για πραγματικούς αριθμούς <math>\scriptstyle x_0,</math> και P. Εμείς θα προσπαθήσουμε να αναπαραστήσουμε το s σε αυτό το διάστημα ως άθροισμα άπειρων, δηλαδή [[σειρά]], αρμονικών συναρτήσεων. Έξω από το διάστημα, η σειρά είναι περιοδική με περίοδο P (συχνότητα 1 / P). Επομένως, αν s έχει επίσης αυτή την ιδιότητα, η προσέγγιση ισχύει σε ολόκληρη την ευθεία των πραγματικών αριθμών. Μπορούμε να ξεκινήσουμε με ένα πεπερασμένο άθροισμα (ή μερικό άθροισμα):
| |||