Σειρές Φουριέ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
|||
Γραμμή 16:
==Ιστορία==
Η σειρά Fourier πήρε το όνομά της προς τιμήν του [[Ζοζέφ Φουριέ]] (''Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830)), ο οποίος έκανε σημαντικές συνεισφορές στη μελέτη των [[τριγωνομετρική σειρά|τριγωνομετρικών σειρών]], μετά από προκαταρκτικές έρευνες από τον [[Λέοναρντ Όιλερ]], [[Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ]], και [[Ντάνιελ Μπερνούλι]]..<ref group="nb">Αυτοί οι τρεις έκαναν κάποιου είδους [[κυματική εξίσωση#Notes|σημαντική δουλειά πάνω στην κυματική εξίσωση]], ειδικά ο D'Alembert. Η δουλειά του Euler σε αυτόν τον τομέα ήταν κυρίως [[εξίσωση δέσμης Euler-Bernoulli|σύγχρονη/ σε συνεργασία με τον Bernoulli]], αν και ο Bernoulli έκανε κάποιες ανεξάρτητες συνεισφορές στη θεωρία των κυμάτων και των ταλαντώσεων ([http://books.google.co.uk/books?id=olMpStYOlnoC&pg=PA214&lpg=PA214&dq=bernoulli+solution+wave+equation&source=bl&ots=h8eN69CWRm&sig=lRq2-8FZvcXIjToXQI4k6AVfRqA&hl=en&sa=X&ei=RqOhUIHOIOa00QWZuIHgCw&ved=0CCEQ6AEwATg8#v=onepage&q=bernoulli%20solution%20wave%20equation&f=false βλέπε, pg.s 209 & 210, ]).</ref> Ο Fourier εισήγαγε τη σειρά με σκοπό την επίλυση της εξίσωσης της θερμότητας σε μια μεταλλική πλάκα, δημοσιεύοντας τα πρώτα αποτελέσματα του το 1807 [[Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides]] (Διατριβή στην διάδοση της θερμότητας σε στερεά σώματα), και με την δημοσίευση Théorie analytique de la chaleur (Αναλυτική Θεωρία της Θερμότητας) το 1822. Η πρώτη ιδέα για την αποσύνθεση μιας περιοδικής συνάρτησης σε άθροισμα απλών συναρτήσεων ταλάντωσης, που χρονολογείται περίπου τον 3ο αιώνα π.Χ., όπου οι αρχαίοι αστρονόμοι πρότειναν ένα εμπειρικό μοντέλο πλανητικών κινήσεων, στηριζόμενο στην [[κυκλική τροχιά]].
Η εξίσωση θερμότητας είναι μια [[μερική διαφορική εξίσωση]]. Πριν από το έργο του Fourier, καμία λύση για την εξίσωση της θερμότητας δεν ήταν γνωστή στη γενική περίπτωση, αν και ήταν γνωστές οι μερικές λύσεις της στην περίπτωση που η πηγή θερμότητας συμπεριφερόταν με έναν απλό τρόπο, ιδίως, εάν η πηγή θερμότητας ήταν ένα ημιτονοειδές ή συνημιτονοειδές κύμα. Αυτές οι μερικές λύσεις καλούνται [[χαρακτηριστικές συναρτήσεις]] ή [[ιδιοσυνάρτηση|ιδιοσυναρτήσεις]]. Η ιδέα του Fourier ήταν να μοντελοποιήσει μια περίπλοκη πηγή θερμότητας ως μια επαλληλία (ή [[γραμμικός συνδυασμός|γραμμικό συνδυασμό]]) απλών ημιτονοειδών και συνημιτονοειδών κυμάτων, και να γράψει τη λύση ως μια επαλληλία των αντίστοιχων ιδιοσυναρτήσεων. Η σύνθεση των μελών της επαλληλίας ή του γραμμικού συνδυασμού ονομάζεται σειρά Fourier.
Γραμμή 123:
Στη μηχανική, συγκεκριμένα όταν η μεταβλητή ''x'' εκφράζει χρόνο, ο συντελεστής της σειράς καλείται [[πεδίο συχνότητας]] αναπαράστασης. Οι αγκύλες χρησιμοποιούνται συχνά για να δώσουν έμφαση στο ότι το πεδίο αυτής της συνάρτησης είναι ένα διακριτό σύνολο συχνοτήτων.
Μια άλλη κοινή αναπαράσταση του πεδίου συχνοτήτων χρησιμοποιεί τους συντελεστές των σειρών Fourier για να διαμορφώσει τη [[συνάρτηση
:<math>S(f) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \ \sum_{n=-\infty}^\infty S[n]\cdot \delta \left(f-\frac{n}{P}\right),</math>
| |||