Διανυσματικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

Ένας [[Ισομορφισμός |ισομορφισμός]] είναι μία γραμμική απεικόνιση ''f'': ''V''→ ''W'' έτσι ώστε να υπάρχει μία [[Αντίστροφη συνάρτηση |αντίστροφη απεικόνιση]] ''g'': ''W''→ ''V'', η οποία είναι μια απεικόνιση όπου οι δύο πιθανές [[Σύνθεση συνάρτησης|συνθέσεις]] ''f''º''g'' : ''W''→ ''W'' και ''g''º''f'' : ''V''→ ''V'' να είναι ταυτοτικές απεικονίσεις. Ισοδύναμα, η ''f'' είναι 1-1 ([[Ένα προς ένα|ένεση]]) και επί ([[Επί συνάρτηση |έφεση]]). Αν υπάρχει ένας ισομορφισμός ανάμεσα στο ''V'' και στο ''W'', οι δύο χώροι λέγονται ''ισομορφικοί''· αυτοί είναι τότε ουσιαστικά ταυτοτικοί ως διανυσματικοί χώροι, εφόσον όλες οι ταυτότητες που ανήκουν στο V μέσω της ''f'', μεταφέρονται σε παρόμοιες στον W και αντίστροφα μέσω της ''g''.

Για παράδειγμα, τα «βέλη στο επίπεδο» και τα «διατεταγμένα ζεύγη αριθμών» στους διανυσματικούς χώρους είναι ισομορφικά: ένα σχεδιασμένο βέλος '''v''' που παρεκκλίνει στην [[Προέλευση (μαθηματικά) |προέλευση]] κάποιου (αναθεωρημένου) [[Σύστημα αναφοράς|συστήματος αναφοράς]] μπορεί να εκφραστεί σαν ένα διατεταγμένο ζεύγος λαμβάνοντας υπόψη το ''x''-και ''y''-στοιχείο του βέλους, όπως φαίνεται στην εικόνα στα δεξιά. Αντίστροφα, έχοντας ένα ζεύγος (''x'',''y''), το βέλος πηγαίνοντας απ’ το ''x'' στα δεξιά (ή στα αριστερά, αν το ''x'' είναι αρνητικό), και απ’ το ''y'' πάνω (ή κάτω, αν το ''y'' είναι αρνητικό) γυρίζει πίσω το βέλος '''v'''.

 

 

===Πίνακες===

Οι ''πίνακες'' είναι μια χρήσιμη ιδέα για να απεικονίσουμε γραμμικές απεικονίσεις. Γράφονται σαν έναν ορθογώνιο πίνακα με βαθμούς(scalars), όπως στην εικόνα στα δεξιά. Κάθε πίνακας ''Α'' m x n αυξάνει σε μια γραμμική απεικόνιση από τον ''Fⁿ'' στον ''F^m'' από το παρακάτω