Διανυσματικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 135:
V = α<sub>1</sub>β<sub>i1</sub> + α<sub>2</sub>β<sub>i2</sub> +…+α <sub>n</sub>β<sub>in</sub>,
Όπου τα α<sub>k</sub> είναι βαθμωτά, ονομάζονται συντεταγμένες του διανύσματος v ως προς τη βάση Β και β<sub>ik</sub> (k=1,…,n) τα στοιχεία του Β. Γραμμική ανεξαρτησία σημαίνει ότι οι συντεταγμένες
Για παράδειγμα, τα [[Διατεταγμένο διάνυσμα|διατεταγμένα διανύσματα]] e<sub>1</sub>=(1,0,…,0), e<sub>2</sub>=(0,1,…,0), μέχρι το e<sub>n</sub>=(0,0,…,1), από μία βάση του F<sup>n</sup>, ονομάζεται [[κανονική βάση]], αφού κάθε διάνυσμα (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,…,x<sub>n</sub>) μπορεί να εκφραστεί μοναδικά ως γραμμικός συνδυασμός
Γραμμή 146:
Η διάσταση από το διατεταγμένο χώρο F<sup>n</sup> είναι n, από τη βάση που παρουσιάζεται πιο πάνω. Η διάσταση του πολυωνυμικού δακτυλίου F[x] που παρουσιάστηκε πιο πάνω είναι [[αριθμητικά άπειρη]], η βάση έχει δοθεί 1, x, x<sup>2</sup>,… Κατά μείζονα λόγο, η διάσταση πιο γενικών συναρτησιακών χώρων, όπως ο χώρος των συναρτήσεων σε κάποια (φραγμένα ή μη φραγμένα) μεσοδιαστήματα, είναι άπειρη. Κάτω από βολική ομαλότητα, υποθέσεις σε συντελεστές που συμπεριλαμβάνονται, η διάσταση του χώρου των λύσεων μιας ομογενούς [[Συνήθης διαφορική εξίσωση| συνήθους διαφορικής εξίσωσης]] ισούται με το βαθμό της εξίσωσης. Για παράδειγμα, ο χώρος των λύσεων για την παραπάνω εξίσωση παράγεται από e<sup>-x</sup> και το xe<sup>-x</sup>. Αυτές οι δύο συναρτήσεις είναι γραμμικά ανεξάρτητες στο '''R''', οπότε η διάσταση του χώρου είναι δύο, όπως και ο βαθμός της εξίσωσης.
Η προέκταση του πεδίου πέρα από τα λογικά '''Q''' μπορεί να θεωρηθεί ως ένας διανυσματικός χώρος πέρα από το '''Q''' (ορίζοντας προσθήκη διανύσματος σαν προσθήκη πεδίου, ορίζοντας το βαθμωτό πολλαπλασιασμό ως πεδίο πολλαπλασιασμού από στοιχείο του '''Q''' και ειδάλλως αγνοώντας το πεδίο πολλαπλασιασμού). Η διάσταση (ή [[Βαθμός ή επέκταση πεδίου |βαθμός]] της επέκτασης πεδίου '''Q'''(
q<sub>n</sub>α<sup>n</sup> + q<sub>n-1</sub>α<sup>n-1</sup> + … + q<sub>0</sub> με φυσικούς (rational)συντελεστές q<sub>n</sub>,...,q<sub>0</sub>.
| |||