Παράδοξο των γενεθλίων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το '''παράδοξο των γενεθλίων''' στη [[θεωρία πιθανοτήτων]] αναφέρεται σε ένα πρόβλημα το οποίο κατά την κοινή λογική έχει μια απίθανη απάντηση. Μία από τις μορφές του προβλήματος είναι: ''Σε μία ομάδα 23 ατόμων τι πιθανότητα υπάρχει δύο από αυτά τα άτομα να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια;'' Η απάντηση των μαθηματικών και λαμβάνονταςΛαμβάνοντας υπόψη ότι το πηλίκο <math>\frac{αριθμός των ατόμων }/{αριθμός ημερών έτους} =\frac{ 23}{/365} = 6,3% <\math>, η απάντηση των μαθηματικών είναι εκπληκτική, καθώς δίνει πιθανότητα 50,7%! <br /> . Ακόμα πιο εντυπωσιακά, τοη πιθανότητα να υπάρχουν δύο άτομα με γενέθλια την ίδια ποσοστόημέρα ξεπερνά το 90% στα 41 άτομα και γίνεται 99% με μόνο 57 άτομα!! Βεβαίως, είναι 100% στα 366 άτομα (ή στα 367 αν συμπεριλάβουμε και αυτούς που έχουν γεννηθεί στις 29 Φεβρουαρίου).

Το πρόβλημα ασχολείται με την εύρεση της πιθανότητας ''οποιωνδήποτε'' δυο ατόμων να έχουν γενέθλια την ίδια ημέρα. Στην ομάδα των 23 ατόμων η σύγκριση του πρώτου ατόμου με οποιοδήποτε από τα άλλα 22 δίνει 22 συνδυασμούς αλλά η σύγκριση οποιουδήποτε με οποιονδήποτε δίνει 253 συνδυασμούς (<math>{23 \choose 2} = \frac{23 \cdot 22}{2} = 253</math>). Τώρα γίνεται πιο κατανοητή η μεγάλη πιθανότητα του 50,7%.

Αντικαθιστώντας το n με το 23 έχουμε 6.1% δηλαδή πιθανότητα περίπου μία στις 16. Για να υπάρξει πιθανότητα περίπου 50% να έχω την ίδια ημέρα γενέθλια με κάποιον άλλο θα πρέπει να βρεθώ σε ομάδα με 253 άτομα! Αυτό είναι αρκετά μεγαλύτερο από το 365/2=182.,5 γιατί η πιθανότητα αυτή αναφέρεται σε σχέση με τα δικά μου γενέθλια όμως μπορεί να υπάρχει άλλο ζευγάρι ατόμων που να έχει την ίδια ημέρα γενέθλια.