Θεωρία κατηγοριών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Πολλοί σημαντικοί τομείς των μαθηματικών μπορούν να τυποποιηθούν από τη θεωρία κατηγορίας ως κατηγορίες. Η θεωρία κατηγορίας είναι μια αφαίρεση των μαθηματικών αποαπό μόνη της που επιτρέπει σε πολλά περίπλοκα και λεπτά μαθηματικά αποτελέσματα σε αυτούς τους τομείς για να δηλωθεί, και να αποδειχθεί, με έναν πολύ απλούστερο τρόπο απ'ό,τι χωρίς τη χρήση των κατηγοριών.

Το πιόπιο προσιτό παράδειγμα μιας κατηγορίας είναι η κατηγορία συνόλων, όπου τα αντικείμενα είναι σύνολα και τα βέλη είναι λειτουργίες από ένα σύνολο σε ένα άλλο. Εντούτοις, τα αντικείμενα μιας κατηγορίας δεν χρειάζεται να είναι σύνολα ούτε οι λειτουργίες βελών, οποιοσδήποτε τρόπος τυποποίησης μιας μαθηματικής έννοιας έτσι ώστε να ικανοποιεί τους βασικούς όρους στη συμπεριφορά των αντικειμένων και τα βέλη είναι μια έγκυρη κατηγορία, και όλα τα αποτελέσματα της θεωρίας κατηγορίας θα ισχύσουν για αυτήν.

Η μελέτη των κατηγοριών είναι μια προσπάθεια να συλληφθεί αξιωματικά τι βρίσκεται συνήθως στις διάφορες κατηγορίες σχετικών μαθηματικών δομών με το συσχετισμό τους στη δομή-συντηρώντας λειτουργίες μεταξύ τους. Μια συστηματική μελέτη της θεωρίας κατηγορίας επιτρέπει έπειτα σε μας να αποδείξουμε τα γενικά αποτελέσματα για οποιουσδήποτε από αυτούς τους τύπους μαθηματικών δομών από τα αξιώματα μιας κατηγορίας.

Εξετάστε το ακόλουθο παράδειγμα.Η κατηγορία Grp ομάδων αποτελείται από όλα τα αντικείμενα που έχουν μια «δομή ομάδας». Κάποιος μπορεί να προχωρήσει να αποδείξει τα θεωρήματα για τις ομάδες κάνοντας λογικούς συνειρμούς από το σύνολο αξιωμάτων.

Ο ομομορφισμός ομάδας μεταξύ δύο ομάδων «συντηρεί τη δομή ομάδας» υπό μια ακριβή έννοια – είναι μια «διαδικασία» παίρνοντας μια ομάδα σε άλλη, με τέτοιο τρόπο ώστε να κρατάει τις πληροφορίες για τη δομή της πρώτης ομάδας στη δεύτερη ομάδα. Η μελέτη των ομομορφισμών ομάδων παρέχει έπειτα ένα εργαλείο για την μελετημελέτη των γενικών ιδιοτήτων των ομάδων και τις συνέπειες των αξιωμάτων ομάδας.Ένας παρόμοιος τύπος έρευνας εμφανίζεται σε πολλές μαθηματικές θεωρίες, όπως η μελέτη των συνεχών χαρτών (''morphisms'') μεταξύ των τοπολογικών διαστημάτων στην τοπολογία (η σχετική κατηγορία καλείται τοπ), και τη μελέτη των ομαλών λειτουργιών (morphisms) στην πολλαπλή θεωρία.

Μια κατηγορία είναι αποαπό μόνη της ένας τύπος μαθηματικής δομής, έτσι μπορούμε να ψάξουμε «τις διαδικασίες» που συντηρούν αυτήν την δομή υπό κάποια έννοια, μια τέτοια διαδικασία καλείται functo.

Οι σχέσεις μεταξύ των μορφισμών (όπως το fg = χ) απεικονίζονται συχνά χρησιμοποιώντας τα μεταλλακτικά διαγράμματα, με «τα σημεία» (γωνίες) να αντιπροσωπεύουν τα αντικείμενα και «τα βέλη» να αντιπροσωπεύουν υοστους μορφισμουςμορφισμούς.

μονομορφισμός (ή αμφιαμφί) εάν το φ ∘ g1 = φ ∘ g2 συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: Χ → a.

επιμορφισμός (ή έπιεπί) εάν g1 ∘ φ = g2 ∘ φ συνεπάγεται g1 = g2 για όλους τους μορφισμούς g1, g2: β → x.

ομομορφισμός εάν το φ είναι αμφιαμφί και επιεπί

''retraction'' εάν ένα σωστό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμοςμορφισμός g: β → α με το fg = 1b.

''section'' εάν ένα αριστερό αντίστροφο του φ υπάρχει, δηλ. εάν υπάρχει ένα μορφισμός g: β → α με το gf = 1a.

Κάθε ''retraction'' είναι ένας επιμορφισμός, και κάθε ''section'' είναι μονομορφισμός. Επιπλέον, οι ακόλουθες τρεις δηλώσεις είναι ισοδύναμες:

Τα ''Functors'' δομούν-συντηρούν τους χάρτες μεταξύ των κατηγοριών. Μπορούν να θεωρηθούν ως μορφισμοί στην κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών.

Ένας ''Functor'' Φ από μια κατηγορία Γ σε μια κατηγορία Δ, γράφεται Φ: Γ → Δ, περιλαμβάνει:

Ένα ''contravariant functor'' Φ: Γ → Δ, είναι όπως ένα ''covariant functor'', εκτός από το ότι «αντιστρέφει τους μορφισμούς» («αντιστρέφει όλα τα βέλη»). Πιο συγκεκριμένα, κάθε μορφισμός φ: Χ → Υ στο Γ πρέπει να οριστεί σε ένα μορφισμό Φ (φ): Φ (Υ) → Φ (Χ) στο Δ. Με άλλα λόγια, ένας contravariant functor λειτουργεί ως covariant functor από την αντίθετη κατηγορία Cop στο Δ.

Εάν Φ και G είναι (covariant) functors μεταξύ των κατηγοριών Γ και Δ, τότε ένας φυσικός μετασχηματισμός η από το Φ στο G συνδέει σε κάθε αντικείμενο Χ στο Γ ένα μορφισμό ηX: Φ (Χ) → Γ (Χ) στο Δ έτσι ώστε για καθεκάθε μορφισμό φ: Χ → Υ στο Γ, έχουμε ηY ∘ Φ (φ) = G (φ) ∘ ηX αυτό σημαίνει ότι το ακόλουθο διάγραμμα είναι μεταλλακτικό:

Κάθε κατηγορία διακρίνεται από τις ιδιότητες που όλα τα αντικείμενά του έχουν από κοινού, όπως το κενό σύνολο ή το προϊόν δύο τοπολογιών, όμως στον καθορισμό μιας κατηγορίας, τα αντικείμενα θεωρούνται ατομικά, δηλ., εμείς δεν ξέρουmeξέρουμε εάν ένα αντικείμενο Α είναι ένα σύνολο, μια τοπολογία, ή οποιαδήποτε άλλη αφηρημένη έννοια. Ως εκ τούτου, η πρόκληση είναι να καθοριστούν τα ειδικά αντικείμενα χωρίς αναφορά στην εσωτερική δομή εκείνων των αντικειμένων. Για να καθορίσει το κενό σύνολο χωρίς αναφορά στα στοιχεία, ή την τοπολογία προϊόντων χωρίς αναφορά στα ανοικτά σύνολα, κάποιο μπορεί να χαρακτηρίσει αυτά τα αντικείμενα από την άποψη των σχέσεών τους με άλλα αντικείμενα, όπως δίνονται από τoυς μορφισμούς των αντίστοιχων κατηγοριών. Κατά συνέπεια, ο στόχος είναι να βρεθούν οι καθολικές ιδιότητες που καθορίζουν μεμονωμένα τα αντικείμενα ενδιαφέροντος.

Πράγματι, καταλήγουμε ότι οι πολυάριθμες σημαντικές κατασκευές μπορούν να περιγραφούν με έναν καθαρώς κατηγορικό τρόπο. Η κεντρική έννοια που απαιτείται για το σκοπό αυτό καλείται κατηγορικό όριο, και μπορεί να είναι για να παραγάγει την έννοια ενός ''colimit''.

Υπάρχει μια φυσική ερώτηση να υποβληθεί: υπό ποιους όρους μπορούν δύο κατηγορίες να θεωρηθούν «ουσιαστικά οι ίδιες», υπό την έννοια ότι τα θεωρήματα για μια κατηγορία μπορούν εύκολα να μετασχηματιστούν στα θεωρήματα για την άλλη κατηγορία; Το σημαντικότερο εργαλείο που εχειέχει υιοθετειθείυιοθετηθεί για να περιγράψει μια τέτοια κατάσταση καλείται ισοδυναμία των κατηγοριών, η οποία δίνεται από τα κατάλληλα functors μεταξύ δύο κατηγοριών. Η κατηγορική ισοδυναμία έχει βρεί τις πολυάριθμες εφαρμογές στα μαθηματικά.

Οι ορισμοί των κατηγοριών και των ''functors'' παρέχουν μόνο τα πολύ βασικά της κατηγορικής άλγεβρας. Τα πρόσθετα σημαντικά θέματα παρατίθενται κατωτέρω. Αν και υπάρχουν ισχυρές αμοιβαίες σχέσεις μεταξύ όλων αυτών των θεμάτων, η δεδομένη διαταγή μπορεί να θεωρηθεί ως οδηγία για την περαιτέρω ανάγνωση.

Η functor κατηγορία DC έχει ως αντικείμενα τα ''functors'' από το Γ στο Δ και ως μορφισμούς τους φυσικούς μετασχηματισμούς τέτοιων functors. Το λήμμα Yoneda είναι ένα από τα διασημότερα βασικά αποτελέσματα της θεωρίας κατηγοριών. Περιγράφει τα αντιπροσωπεύσιμα functors στις κατηγορίες functor.

Παραδείγματος χάριν, μια (ακριβής) 2-κατηγορία είναι μια κατηγορία μαζί με «μορφισμοί μεταξύ μορφισμών», δηλ., διαδικασίες που μας επιτρέπουν να μετασχηματίσουμε έναν μορφισμό σε ένα άλλο. Μπορούμε έπειτα «να συνθέσουμε» αυτουςαυτούς τοςτους «ομομορφισμούς» και οριζόντια και κάθετα, και απαιτούμε έναν 2-διαστατικό «νόμο ανταλλαγής » για να το διατηρήσουμε, αφορώντας τους δύο νόμους σύνθεσης. Σε αυτό το πλαίσιο, το τυποποιημένο παράδειγμα είναι Cat, η 2-κατηγορία όλων (των μικρών) κατηγοριών, και σε αυτό το παράδειγμα, οι ομομορφισμοί των μορφισμών είναι απλά φυσικοί μετασχηματισμοί των μορφισμών υπό τη συνηθισμένη έννοια. Ένα άλλο βασικό παράδειγμα είναι να εξεταστεί μια 2-κατηγορία με ένα ενιαίο αντικείμενο ,αυτές είναι ουσιαστικά monoidal κατηγορίες. Το Bicategories είναι μια πιόπιο αδύνατη έννοια 2 διαστατικών κατηγοριών στις οποίες η σύνθεση των μορφισμών δεν είναι αυστηρά συνειρμική, αλλά μόνο συνειρμική «μέχρι» έναν ισομορφισμό.

Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο ''Eilenberg'' ήταν πολωνόςΠολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η θεωρία κατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (ένας από τους δασκάλους της Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών η Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και η Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που συντηρούν τις.

Η θεωρία κατηγοριών έχει εφαρμοστείκαιεφαρμοστεί και σε άλλους τομείς . Παραδείγματος χάριν, ο ''John Baez'' έχει παρουσιάσει μια σύνδεση μεταξύ των διαγραμμάτων Feynman στη φυσική και των monoidal κατηγοριών. Μια άλλη εφαρμογή της θεωρίας κατηγοριων, πιο συγκεκριμένα: η θεωρία topos, έχει γίνει στη μαθηματική θεωρία μουσικής, βλέπε παραδείγματος χάριν στο βιβλίο The Topos of Music, Geometric Logic of Concepts, Theory, και Performance του Guerino Mazzola.