Θεωρία κατηγοριών: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 114:
=== Ισοδύναμες κατηγορίες ===
Υπάρχει μια φυσική ερώτηση να υποβληθεί: υπό ποιους όρους μπορούν δύο κατηγορίες να θεωρηθούν «ουσιαστικά οι ίδιες», υπό την έννοια ότι τα θεωρήματα για μια κατηγορία μπορούν εύκολα να μετασχηματιστούν στα θεωρήματα για την άλλη κατηγορία; Το σημαντικότερο εργαλείο που έχει υιοθετηθεί για να περιγράψει μια τέτοια κατάσταση καλείται ισοδυναμία των κατηγοριών, η οποία δίνεται από τα κατάλληλα functors μεταξύ δύο κατηγοριών. Η κατηγορική ισοδυναμία έχει
=== Περαιτέρω έννοιες και αποτελέσματα ===
Γραμμή 143:
Ο Stanislaw Ulam, και μερικοί που γράφουν εξ ονόματός του, έχουν υποστηρίξει ότι οι σχετικές ιδέες ήταν τρέχουσες στα τέλη της δεκαετίας του 1930 στην Πολωνία. Ο ''Eilenberg'' ήταν Πολωνός, και μελέτησε τα μαθηματικά στην Πολωνία στη δεκαετία του '30. Η θεωρία κατηγοριών είναι επίσης, υπό κάποια έννοια, μια συνέχεια της εργασίας της Εmmy Noether (ένας από τους δασκάλους της Mac Lane) στην τυποποίηση των αφηρημένων διαδικασιών η Noether συνειδητοποίησε ότι προκειμένου να γίνει κατανοητός ένας τύπος μαθηματικής δομής, κάποιος πρέπει να καταλάβει τις διαδικασίες που συντηρούν εκείνη την δομή. Προκειμένου να επιτευχθεί αυτή η κατανόηση,ο Eilenberg και η Mac Lane πρότειναν μια αξιωματική διαμόρφωση της σχέσης μεταξύ των δομών και των διαδικασιών που συντηρούν τις.
Η επόμενη ανάπτυξη της θεωρίας κατηγοριών τροφοδοτήθηκε πρώτα από τις υπολογιστικές ανάγκες της ομόλογης άλγεβρας, και αργότερα από τις αξιωματικές ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, ο τομέας ανθεκτικότερος να στηριχτεί είτε στην αξιωματική καθορισμένη θεωρία είτε την άποψη
Ορισμένες κατηγορίες αποκαλούμενες topoi (singular topos) μπορούν ακόμη και να χρησιμεύσουν ως μια εναλλακτική λύση στην αξιωματική θεωρία ομάδων ως θεμέλιο των μαθηματικών. Τα topos μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως συγκεκριμένος τύπος κατηγορίας με δύο πρόσθετα αξιώματα topos. Αυτές οι θεμελιώδεις εφαρμογές της θεωρίας κατηγορίας έχουν επιλυθεί με δίκαιες λεπτομέρειες σαν βάση και την αιτιολόγηση, τα εποικοδομητικά μαθηματικά. Η θεωρία Topos είναι μια μορφή αφηρημένης sheaf θεωρίας, με γεωμετρική προέλευση, και οδηγεί σε ιδέες όπως η άσκοπη τοπολογία.
Γραμμή 149:
Η κατηγορική λογική είναι τώρα ένας καθορισμένος με σαφήνεια τομέας βασισμένος στη θεωρία τύπων για τις intuitionistic λογικές, με εφαρμογές στη λειτουργικό προγραμματισμό και στη θεωρία περιοχών, όπου μια καρτεσιανή κλειστή κατηγορία λαμβάνεται ως μη-συντακτική περιγραφή ενός υπολογισμού λάμδα. Στο ελάχιστο, η θεωρητική γλώσσα κατηγορίας διευκρινίζει τι ακριβώς αυτές οι σχετικές περιοχές έχουν κοινο (υπό κάποια αφηρημένη έννοια).
Η θεωρία κατηγοριών έχει εφαρμοστεί και σε άλλους τομείς
Πιο πρόσφατες προσπάθειες να εισάγουν προπτυχιακά σαν θεμέλιο των μαθηματικών εκαναν οι William Lawvere και Rosebrugh (2003)
== Δείτε επίσης ==
| |||