Μαθηματική απόδειξη: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

:Έστω ότι ο <math>\sqrt{2}</math> είναι ρητός, δηλαδή <math>\sqrt{2} = {a\over b}</math> όπου ''a'' και ''b'' είναι μη μηδενικοί ακέραιοι πρώτοι μεταξύ τους (ορισμός ρητών αριθμών). Έτσι, <math>b\sqrt{2} = a</math>. Υψώνοντας και τις δυο πλευρές στο τετράγωνο δίνει 2''b''² = ''a''². Αφού το 2 διαιρεί το αριστερό μέρος, θα πρέπει και να διαιρεί το δεξί μέλος της εξίσωσης, μιας και είναι ίσα. Επομένως, ο ''a''² είναι άρτιος, που σημαίνει ότι ο ''a'' θα πρέπει επίσης να είναι άρτιος. Μπορούμε δηλαδή να γράψουμε ''a'' = 2''c'', όπου ''c'' είναι ακέραιος. Αντικατάσταση στην αρχική εξίσωση δίνει 2''b''² = (2''c'')² = 4''c''². Διαιρώντας και τις δυο πλευρές με το 2 δίνει ''b''² = 2''c''². Αλλά τότε, ακολουθώντας το ίδιο επιχείρημα, το 2 διαιρεί το ''b''², άρα και το ''b'' είναι άρτιος. Όμως, αν οι ''a'' και ''b'' είναι και οι δυο άρτιοι, έχουν κοινό διαιρέτη (το 2). Αυτό έρχεται σε αντίθεση με την υπόθεση ότι είναι πρώτοι μεταξύ τους, άρα πρέπει να συμπεράνουμε ότι ο <math>\sqrt{2}</math> είναι άρρητος.

 

=== Μαθηματική ή Τέλεια επαγωγή ===