Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Lampropt (συζήτηση | συνεισφορές)
Νέα σελίδα: File:Integral-area-under-curve.svg|thumb|Το ολοκλήρωμα μια μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η πε...
Ετικέτα: μεγάλη προσθήκη
(Καμία διαφορά)

Έκδοση από την 06:03, 17 Μαΐου 2015

Στα Μαθηματικά, το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και τον άξονα των x. Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές λείες συναρτήσεις (όπως οι συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα) το εμβαδό κάτω από την καμπύλη μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με πολύγωνα. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη Θεωρία πιθανοτήτων), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.

Το ολοκλήρωμα μια μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.

Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική Ανάλυση, καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.

Ο όρος "ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ" μπορεί να αναφέρεται, είτε γενικά στη θεωρία της ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς ένα γενικό μέτρο, όπως παρουσιάστηκε από τον Λεμπέγκ, ή στην ειδική περιπτωση που το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ορίζεται πάνω σε ένα υποσύνολο τού άξονα των πραγματικών αριθμών ως προς το μέτρο Λεμπέγκ.


Δείτε επίσης


Notes

References

  • Bartle, Robert G. (1995). The elements of integration and Lebesgue measure. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons Inc. xii+179. ISBN 0-471-04222-6. MR 1312157. 
  • Bauer, Heinz (2001). Measure and Integration Theory. De Gruyter Studies in Mathematics 26. Berlin: De Gruyter. 236. ISBN 978-3-11-016719-1. 
  • Bourbaki, Nicolas (2004). Integration. I. Chapters 1–6. Translated from the 1959, 1965 and 1967 French originals by Sterling K. Berberian. Elements of Mathematics (Berlin). Berlin: Springer-Verlag. xvi+472. ISBN 3-540-41129-1. MR 2018901. 
  • Dudley, Richard M. (1989). Real analysis and probability. The Wadsworth & Brooks/Cole Mathematics Series. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole Advanced Books & Software. xii+436. ISBN 0-534-10050-3. MR 0982264.  Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
  • Folland, Gerald B. (1999). Real analysis: Modern techniques and their applications. Pure and Applied Mathematics (New York) (Second έκδοση). New York: John Wiley & Sons Inc. xvi+386. ISBN 0-471-31716-0. MR 1681462. 
  • Halmos, Paul R. (1950). Measure Theory. New York, N. Y.: D. Van Nostrand Company, Inc. σελίδες xi+304. MR 0033869.  A classic, though somewhat dated presentation.
  • Lebesgue, Henri (1904). Leçons sur l'intégration et la recherche des fonctions primitives. Paris: Gauthier-Villars 
  • Lebesgue, Henri (1972). Oeuvres scientifiques (en cinq volumes) (στα French). Geneva: Institut de Mathématiques de l'Université de Genève. σελ. 405. MR 0389523. 
  • Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis. Toronto-New York-London: D. Van Nostrand Company, Inc. σελίδες x+190. MR 0054173.  Includes a presentation of the Daniell integral.
  • Munroe, M. E. (1953). Introduction to measure and integration. Cambridge, Mass.: Addison-Wesley Publishing Company Inc. σελίδες x+310. MR 0053186.  Good treatment of the theory of outer measures.
  • Royden, H. L. (1988). Real analysis (Third έκδοση). New York: Macmillan Publishing Company. σελίδες xx+444. ISBN 0-02-404151-3. MR 1013117. 
  • Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics (Third έκδοση). New York: McGraw-Hill Book Co. σελίδες x+342. MR 0385023.  Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
  • Shilov, G. E.· Gurevich, B. L. (1977). Integral, measure and derivative: a unified approach. Translated from the Russian and edited by Richard A. Silverman. Dover Books on Advanced Mathematics. New York: Dover Publications Inc. xiv+233. ISBN 0-486-63519-8. MR 0466463.  Emphasizes the Daniell integral.
  • Siegmund-Schultze, Reinhard (2008), «Henri Lebesgue», στο: Timothy Gowers, June Barrow-Green, Imre Leader, επιμ., Princeton Companion to Mathematics, Princeton University Press .
  • Yeh, James (2006). Real Analysis: Theory of Measure and Integral 2nd. Edition Paperback. Singapore: World Scientific Publishing Company Pte. Ltd. σελ. 760. ISBN 978-981-256-6. 

Πρότυπο:Integral