Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

 

Στα [[Μαθηματικά]], το [[ολοκλήρωμα]] μιας μη αρνητικής [[συνάρτηση|συνάρτησης]] μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το [[εμβαδό]] μεταξύ της [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφικής παράστασης]] της συνάρτησης και τον άξονα των {{math|''x''}}. '''Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ''' είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές λείες συναρτήσεις (όπως οι [[συνέχεια συνάρτησης|συνεχείς συναρτήσεις]] ορισμένες σε κλειστά και [[φράγμα|φραγμένα]] [[διάστημα|διαστήματα]]) το ''εμβαδό κάτω από την καμπύλη'' μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με [[πολύγωνο|πολύγωνα]]. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη [[Θεωρία πιθανοτήτων]]), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.