Μαθηματική ανάλυση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Ακολουθίες και όρια |
||
Γραμμή 16:
Τυπικά ένας Μετρικός Χώρος ορίζεται ως το ζευγάρι <math>(M,d)</math> όπου <math>M</math> είναι ένα σύνολο και <math>d</math> μια μετρική πάνω στο <math>M</math>.
Μετρική λέγεται μια [[συνάρτηση]] :<math>d \colon M \times M \rightarrow \mathbb{R}</math>
έτσι ώστε για κάποια <math>x, y, z \in M</math> ,ισχύουν οι παρακάτω ιδιότητες:
Γραμμή 23:
# <math>d(x,z) \le d(x,y) + d(y,z)</math> (''[[τριγωνική ανισότητα]]'') .
Παίρνοντας την τρίτη ιδιότητα και θέτοντας <math>z=x</math>, αποδεικνύεται ότι <math>d(x,y) \ge 0</math>
=== Ακολουθίες και όρια ===
'''Ακολουθία''' είναι μια λίστα στοιχείων με καθορισμένη σειρά.Η βασική διαφορά με τα σύνολα είναι ότι στην ακολουθία, η σειρά παίζει σημαντικό ρόλο και επίσης κάποιο ή κάποια στοιχεία μπορεί να εμφανίζονται περισσότερες από μια φορές σε πολλές θέσεις. Μια ακολουθία μπορεί να οριστεί και ως [[συνάρτηση]] με [[πεδίο ορισμού]] ένα [[μετρίσιμο σύνολο|μετρίσιμο]] και [[πλήρως διατεταγμένο σύνολο]] όπως οι [[φυσικοί αριθμοί]].
Μια από τις σημαντικότερες ιδιότητες των ακολουθιών είναι η '''σύγκλιση.''' Με απλά λόγια, μια ακολουθία συγκλίνει αν έχει όριο (στο άπειρο). Με βάση τη θεωρία, θα λέμε ότι μια ακολουθία έχει όριο το x αν το προσεγγίζει καθώς το n γίνεται πολύ μεγάλο (όπου το n καθορίζει την θέση κάθε στοιχείου). Δηλαδή όσο το n τείνει στο άπειρο, η απόσταση των
τιμών τις ακολουθίας και του x τείνει στο 0.
== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
| |||