Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

καμία σύνοψη επεξεργασίας
μ (Ο Glorious 93 μετακίνησε τη σελίδα Ολοκλήρωση κατά Λεμπέκ στη Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ)
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
[[File:Integral-area-under-curve.svg|thumb|Το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.]]
 
Στα [[Μαθηματικά]], το [[ολοκλήρωμα]] μιας μη αρνητικής [[συνάρτηση|συνάρτησης]] μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το [[εμβαδό]] μεταξύ της [[Γραφική παράσταση συνάρτησης|γραφικής παράστασης]] της συνάρτησης και τον άξονα των {{math|''x''}}. '''Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ''' είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές, αρκετά λείες συναρτήσεις (όπως οι [[συνέχεια συνάρτησης|συνεχείς συναρτήσεις]] ορισμένες σε κλειστά και [[φράγμα|φραγμένα]] [[διάστημα|διαστήματα]]) το ''εμβαδό κάτω από την καμπύλη'' μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με [[πολύγωνο|πολύγωνα]]. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη [[Θεωρία πιθανοτήτων]]), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.
 
Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική [[Μαθηματική Ανάλυση|Ανάλυση]], καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.
15

επεξεργασίες