Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

μ
tex
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
μ (tex)
Για να ορίσετε το ολοκλήρωμα Lebesgue απαιτείται η έννοια του [[μέτρου]], το οποίο κατά προσέγγιση συνδέεται, για κάθε σύνολο Α των πραγματικών αριθμών,ένας μη αρνητικός αριθμός μ (A) που αντιπροσωπεύει το «μέγεθος» του Α. Αυτή η έννοια του "μεγέθους" θα πρέπει να συμφωνεί με το μήκος ενός διαστήματος ή την ένωση διαστημάτων. Ας υποθέσουμε ότι η f: ℝ → ℝ + είναι μια μη-αρνητική πραγματική συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας την φιλοσοφία της "διαμέρισης του εύρους της f", το ολοκλήρωμα της f θα πρέπει να είναι το άθροισμα πάνω από τ της στοιχειώδης περιοχής που περιλαμβάνεται στη λεπτή οριζόντια λωρίδα μεταξύ y = t και y = t + dt. Αυτή η στοιχειώδης περιοχή είναι ακριβώς
 
:<math>\mu \left (\{x\mid f(x)>t\} \right ) \,dt.</math>
[[Αρχείο:Ca19263005f94bae79c2c429ccac32f5.jpg|frameless]]
 
Έστω
:<math>f^*(t)=\mu \left (\{x\mid f(x)>t\} \right ).</math>
 
[[Αρχείο:Eed60327392716a61d2edb121e2dd1ac.png|frameless]]
 
Το Lebesgue ολοκλήρωμα της f ορίζεται στη συνέχεια από
 
:<math>\int f\,d\mu = \int_0^\infty f^*(t)\,dt</math>
[[Αρχείο:774e092fc051dd560914a72ff77b8c79.png|frameless]]
 
όπου το ολοκλήρωμα στα δεξιά είναι ένα συνηθισμένο [[γενικευμένο ολοκλήρωμα Riemann]] (σημειώστε ότι η f * είναι μία μη αρνητική φθίνουσα συνάρτηση, και ως εκ τούτου ορίζεται το ολοκλήρωμα Riemann). Για μια κατάλληλη κατηγορία συναρτήσεων (οι [[μετρήσιμες συναρτήσεις]]) ορίζεται το Lebesgue ολοκλήρωμα.
Μια γενική (όχι απαραίτητα θετική) συνάρτηση f είναι Lebesgue ολοκλήρωμα εάν η περιοχή μεταξύ της γραφικής παράστασης της f και του άξονα χ είναι πεπερασμένη:
 
:<math>\int |f|\,d\mu < + \infty.</math>
[[Αρχείο:5b56f5940315e0d3f9d037f89d7cb1af.png|frameless]]
 
Σε αυτή την περίπτωση, το ολοκλήρωμα είναι, όπως και στην περίπτωση Riemann, η διαφορά μεταξύ της περιοχής πάνω από τον άξονα χ και της περιοχής κάτω από τον άξονα x:
 
:<math>\int f \,d\mu = \int f^+ \,d\mu - \int f^- \,d\mu</math>
[[Αρχείο:9caf09620432916b42e85ccd7a61a66b.png|frameless]]
 
όπου
 
:<math>\begin{align}
[[Αρχείο:15435949cd7a5db215da9db3c7886c65.png|frameless|363x363px]]
f^+(x)&=\max(\{f(x),0\}) &=&\begin{cases}
 
f(x), & \text{if } f(x) > 0, \\
0, & \text{διαφορετικά}
\end{cases}\\
f^-(x) &=\max(\{-f(x),0\})&=& \begin{cases}
-f(x), & \text{if } f(x) < 0, \\
0, & \text{διαφορετικά.}
\end{cases}\end{align}
</math>
== Κατασκευή ==
Η συζήτηση που ακολουθεί γίνεται παράλληλα με την πιο κοινή επεξηγηματική προσέγγιση στο ολοκλήρωμα Lebesgue. Στην προσέγγιση αυτή, η θεωρία της ολοκλήρωσης έχει δύο διακριτά μέρη:
46.056

επεξεργασίες