Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μ →Πιο επίσημος ορισμός: otherwise //png-mathjax |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 71:
== θεωρία μέτρου ==
Επιπλέον πληροφορίες: [[Μέτρο]] [[(μαθηματικά)]]
Η [[θεωρία μέτρου]] δημιουργήθηκε αρχικά για να παρέχει μια χρήσιμη αφαίρεση της έννοιας του μήκους των υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής και, γενικότερα, της περιοχής και του όγκου των υποσυνόλων των Euclidean διαστημάτων. Ιδίως,έδωσε μια συστηματική απάντηση στο θέμα ,για το αν το ℝ έχει μήκος. Όπως παρουσιάστηκε από τις επόμενες αναπτύξεις στην [[καθορισμένη θεωρία]] (δείτε το [[μη-μετρήσιμο σύνολο]]), είναι πραγματικά αδύνατο να οριστεί ένα μήκος σε όλα τα υποσύνολα ℝ , με τέτοιο τρόπο ώστε να συντηρεί μερικές φυσικές ιδιότητες προσθήκης και σταθερότητας μεταφράσεων. Αυτό σημαίνει ότι η επιλογή μιας κατάλληλης κατηγορίας μετρήσιμων υποσυνόλων είναι μια ουσιαστική προϋπόθεση.
Το ολοκλήρωμα Riemann χρησιμοποιεί την έννοια του μήκους ρητά. Πράγματι, το στοιχείο του υπολογισμού για το ολοκλήρωμα Riemann είναι το ορθογώνιο [α, β] × [γ, δ], του οποίου η περιοχή υπολογίζεται να είναι (β − α) (δ − γ). Η ποσότητα (β − α) είναι το μήκος της βάσης του ορθογωνίου και το (δ − γ) είναι το ύψος του ορθογωνίου. Το ολοκλήρωμα Riemann θα μπορούσε μόνο να χρησιμοποιήσει τα επίπεδα ορθογώνια για να προσεγγίσει την περιοχή κάτω από την καμπύλη,επειδή δεν υπάρχει καμία επαρκής θεωρία για τη μέτρηση των γενικότερων συνόλων.
Στην ανάπτυξη της θεωρίας στα περισσότερα σύγχρονα εγχειρίδια (μετά το 1950), η προσέγγιση στο μέτρο και η ολοκλήρωση είναι αξιωματικές.Αυτό σημαίνει ότι ένα μέτρο σε οποιαδήποτε συνάρτηση μ καθορίζεται σε μια ορισμένη κατηγορία Χ υποσυνόλων ενός καθορισμένου Ε, το οποίο ικανοποιεί έναν ορισμένο κατάλογο ιδιοτήτων. Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να αποδειχθούν και να ισχύουν σε πολλές διαφορετικές περιπτώσεις.<gallery>
[[File:RandLintegrals.png|thumb|Riemann-Darboux's integration (in blue) and Lebesgue integration (in red).]]
</gallery>
| |||