Θεωρία συνόλων: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
Topou (συζήτηση | συνεισφορές) Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 44:
Η θεωρία συνόλων ως θεμέλιο για τη [[μαθηματική ανάλυση]], την [[τοπολογία]], την [[αφηρημένη άλγεβρα]] και τα [[διακριτά μαθηματικά]] είναι επίσης αναμφισβήτητη.Μαθηματικοί αποδέχονται ότι (κατ 'αρχήν) θεωρήματα σε αυτούς τους τομείς μπορεί να προέλθουν από τους σχετικούς ορισμούς και τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Λίγες πλήρεις παραγωγές σύνθετων μαθηματικών θεωρημάτων από τη θεωρία συνόλων έχουν επισήμως επιβεβαιωθεί, ωστόσο, επειδή οι τυπικές παραγωγές είναι συχνά πολύ περισσότερες από ό,τι η φυσική γλώσσα αποδεικνύει μαθηματικούς που συνήθως υπάρχουν. Ένα έργο επαλήθευσης, [[Metamath]], περιλαμβάνει τις ανθρωπίνως-γραπτές, τις υπολογιστικά-επαληθευμένες παραγωγές πάνω από 12.000 θεωρημάτων ξεκινώντας από τη [[ZFC]] θεωρία συνόλων, [[λογική πρώτης τάξης]] και [[προτασιακή λογική]].
== Αξιωματική θεωρία συνόλων ==
Η στοιχειώδης θεωρία των συνόλων μπορεί να μελετηθεί άτυπα και διαισθητικά , και έτσι μπορεί να διδαχθεί στα σχολεία της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης , χρησιμοποιώντας το [[Διάγραμμα Venn]]. Η διαισθητική προσέγγιση υποθέτει σιωπηρά ότι μια σειρά μπορεί να σχηματιστεί από την κλάση όλων των αντικειμένων που ικανοποιούν κάθε συγκεκριμένη και καθοριστική κατάσταση. Αυτή η υπόθεση δημιουργεί παράδοξα , τα απλούστερα και πιο γνωστά από τα οποία είναι το [[Παράδοξο του Russell]] και το [[Burali - Forti παράδοξο|Burali - Forti παράδοξο.]] Η αξιωματική θεωρία συνόλων αρχικά επινοήθηκε για να απαλλαγούμε από την θεωρία των συνόλων αυτών των παραδόξων.
Τα πιο ευρέως μελετημένα συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων οδηγούν στο συμπέρασμα ότι όλα τα σύνολα αποτελούν μια [[Αθροιστική ιεραρχία]]. Τέτοια συστήματα ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες εκ των οποίων η οντολογία αποτελείται από:
* Μόνα σύνολα.Αυτό περιλαμβάνει την πιο κοινή αξιωματική θεωρία συνόλων , [[Zermelo - Fraenkel θεωρία συνόλων ( ZFC )]], το οποίο περιλαμβάνει το [[Αξίωμα της επιλογής]].Θραύσματα του ZFC περιλαμβάνουν :
* Τη [[θεωρία συνόλων Zarmelo]], που αντικαθιστά [[Το αξίωμα σχήμα της αντικατάστασης]] με αυτό του [[Διαχωρισμού]];
* Τη [[Γενική θεωρία συνόλων]] , ένα μικρό θραύσμα από [[θεωρία συνόλων Zarmelo]] επαρκεί για τα [[Αξιώματα Peano]] και τα [[Πεπερασμένα σύνολα]];
* Τη [[Θεωρία συνόλων Kripke-Platek]] που παραλείπει τα αξιώματα του απείρου, [[δυναμοσύνολο]] και [[επιλογή]] και αποδυναμώνει τα αξιώματα του [[Διαχωρισμού]] και της [[αντικατάστασης]];
== Βιβλιογραφία ==
| |||