Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

καμία σύνοψη επεξεργασίας
Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki>που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη θεωρία συνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von '''Neumann''', και πολλά συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια [[σωρευτική ιεραρχία]], βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας [[τακτικός αριθμός]] α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το [[λιγότερο άνω άκρο]] όλων των [[διαδόχων]] της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki> συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο ''V''<sub>α</sub> ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με ''V''.
 
== '''<u>Βασικές έννοιες και συμβολισμοί</u>''' ==
* Κύρια άρθρα:[[σύνολο (μαθηματικά)]] και [[άλγεβρα συνόλων]]
* Η θεωρία συνόλων ξεκινά με μια βασική [[δυαδική σχέση]] μεταξύ ενός αντικειμένου Ο και ενός συνόλου Α. Αν Ο είναι [[μέλος]](ή στοιχείο) του Α τότε γράφουμε ότι Ο∈Α. Δεδομένου ότι τα σύνολα είναι αντικείμενα οι σχέσεις των μελών μπορούν να αφορούν και σύνολα. Μια [[δυαδική σχέση]] που προέρχεται μεταξύ δύο συνόλων είναι επίσης σχέση υποσυνόλων που ονομάζεται σειρά ένταξης. Αν όλα τα μέλη του συνόλου Α είναι μέλη του συνόλου Β, τότε το Α είναι υποσύνολο του Β και συμβολίζεται με Α⊆Β. Για παράδειγμα το σύνολο {1,2} είναι υποσύνολο του {1,2,3}, όπως επίσης και το σύνολο {2} είναι υποσύνολο του {1,2,3} σε αντίθεση με το {1,4} που δεν είναι. Από αυτόν τον ορισμό είναι ξεκάθαρο ότι κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. Για τις περιπτώσεις που κάποιος επιθυμεί να αποκλείσει αυτό το ενδεχόμενο ο όρος κατάλληλο υποσύνολο ορίζεται. Το Α ονομάζεται κατάλληλο υποσύνολο του Β αν και μόνο αν το Α είναι ένα υποσύνολο του Β, αλλά Β δεν είναι ένα υποσύνολο του Α. Σημειώστε επίσης ότι 1 και 2 και 3 είναι μέλη (στοιχεία) του συνόλου {1,2,3} , αλλά δεν είναι υποσύνολα, και τα υποσύνολα με τη σειρά τους δεν είναι ως εκ τούτου μέλη του συνόλου.
4

επεξεργασίες