Απολλώνιο πρόβλημα: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το θεώρημα του Καρτέσιου ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα το 1826 από τον [[Jakob Steiner]],<ref name="steiner_1826" >{{cite journal| author = [[Jakob Steiner|Steiner J]]| year = 1826| title = Einige geometrische Betrachtungen| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik| volume = 1| pages = 161–184, 252–288| url=http://www.digizeitschriften.de/no_cache/home/jkdigitools/loader/?tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=512237}}{{dead link|date=June 2015}}</ref> το 1842 από τον ''Philip Beecroft'',<ref name="coxeter_1968" /><ref name="beecroft_1842" >{{cite journal| author = Beecroft H| year = 1842| title = Properties of Circles in Mutual Contact| journal = Lady’s and Gentleman’s Diary| volume = 139| pages = 91–96}}<br />{{cite journal| author = Beecroft H| year = 1846| title = Unknown title| journal = Lady’s and Gentleman’s Diary| pages = 51}} ([http://www.pballew.net/soddy.html MathWords online article])</ref> και ξανά το 1936 από τον ''[[Frederick Soddy]]''.<ref name="soddy_1936" >{{cite journal| author = [[Frederick Soddy|Soddy F]]| date = 20 June 1936| title = The Kiss Precise| journal = [[Nature (journal)|Nature]]| volume = 137| pages = 1021| doi = 10.1038/1371021a0}}</ref> Ο Soddy εξέδωσε τα πορίσματά του στο επιστημονικό περιοδικό ''[[Nature]]'' ως ποίημα, ''The Kiss Precise'' (''Το ακριβές φιλί''). Η πρώτη στροφή περιγράφει τους κύκλους του Soddy ενώ η δεύτερη το θεώρημα του Καρτέσιου. Στο ποίημα δύο κύκλοι αναφέρεται ότι «''φιλιούνται''» (''kiss'') όταν εφάπτονται ενώ ο όρος «''bend''» αναφέρεται στην καμπυλότητα ''k'' του κύκλου.

Η επέκταση του απολλώνιου προβλήματος σε τρεις διαστάσεις, δηλαδή το πρόβλημα εύρεσης σφαίρας που να εφάπτεται σε τέσσερις δοσμένες σφαίρες, μπορεί να λυθεί με ανάλογες μεθόδους.<ref name="altshiller-court_1961" /> Για παράδειγμα, οι δοσμένες και η σφαίρα-λύση μπορούν να αλλάξουν μέγεθος έτσι ώστε μία δεδομένη σφαίρα να ελαττωθεί σε σημείο διατηρώντας τις επαφές όλων των σφαιρών.<ref name="ogilvy_1969" /> Η αντιστροφή σε αυτό το σημείο, μετασχηματίζει το πρόβλημα σε αυτό της εύρεσης ενός επιπέδου που να είναι εφαπτόμενο σε τρεις δοσμένες σφαίρες. Υπάρχουν εν γένει οκτώ τέτοια επίπεδα, τα οποία δίνουν τις λύσεις του αρχικού προβλήματος αναστρέφοντας την αντιστροφή και επαναφέροντας το μέγεθος. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε πρώτη φορά από τον [[Πιέρ ντε Φερμά]],<ref>[[Pierre de Fermat|de Fermat P]], ''Varia opera mathematica'', p. 74, Tolos, 1679.</ref> ενώ έχουν αναπτυχθεί διάφορες εναλλακτικές μέθοδοι ανά τους αιώνες.<ref name="fermat_problem_solutions" >{{cite journal| author = [[Leonhard Euler|Euler L]]| year = 1810| title = Solutio facilis problematis, quo quaeritur sphaera, quae datas quatuor sphaeras utcunque dispositas contingat| journal = Memoires de l'academie des sciences de St.-Petersbourg| volume = 2| pages = 17–28| url = http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/originals/E733.pdf|format=PDF}} {{la icon}} Reprinted in Euler's ''Opera Omnia'', series 1, volume 26, pp. 334–343.<br />{{cite book| author = [[Lazare Carnot|Carnot L]]| year = 1803| title = Géométrie de position| publisher = Imprimerie de Crapelet, chez J. B. M. Duprat| location = Paris| pages = 357, §416}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = [[Jean Nicolas Pierre Hachette|Hachette JNP]]| month = September| year = 1808| title = Sur le contact des sphères; sur la sphère tangente à quatre sphères données; sur le cercle tangent à trois cercles donnés| journal = Correspondance sur l'École Polytechnique| volume = 1| issue = 2| pages = pp. 27–28}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = Français J| month = January| year = 1810| title = De la sphère tangente à quatre sphères données| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 2| pages = pp. 63–66}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = Français J| month = January| year = 1813| title = Solution analytique du problème de la sphère tangente à quatre sphères données| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 5| pages = pp. 409–410}} {{fr icon}}<br />{{cite journal| author = [[Charles Dupin|Dupin C]]| month = January| year = 1813| title = Mémoire sur les sphères| journal = Correspondance sur l'École Impériale Polytechnique| volume = 2| issue = 5| pages = p. 423}} {{fr icon}}<br />{{cite book| author = Reye T| year = 1879| title = Synthetische Geometrie der Kugeln| publisher = B. G. Teubner| location = Leipzig| url = http://www.gutenberg.org/files/17153/17153-pdf.pdf|format=PDF}} {{de}}<br />{{cite journal| author = [[Joseph Alfred Serret|Serret JA]]| year = 1848| title = De la sphère tangente à quatre sphères donnèes| journal = Journal für die reine und angewandte Mathematik| volume = 37| pages = 51–57| url = http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=loader&tx_jkDigiTools_pi1%5BIDDOC%5D=510729}}{{dead link|date=June 2015}} {{fr}}<br />{{cite journal| author = Coaklay GW| date = 1859–1860| title = Analytical Solutions of the Ten Problems in the Tangencies of Circles; and also of the Fifteen Problems in the Tangencies of Spheres| journal = The Mathematical Monthly| volume = 2| pages = 116–126}}<br />{{cite journal| author = [[Benjamin Alvord (mathematician)|Alvord B]]| year = 1882| title = The intersection of circles and intersection of spheres| journal = American Journal of Mathematics| volume = 5| pages = 25–44, with four pages of Figures| doi = 10.2307/2369532| issn = 00029327| month = Jan| day = 01| issue = 1}}<br /></ref>

* {{cite web|url=http://www.mathpages.com/home/kmath113.htm|title= Apollonius' Tangency Problem|publisher=MathPages|accessdate=2008-05-05}}{{dead link|date=June 2015}} {{en}}