Λογάριθμος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μεταφορά λίγο παρακάτω |
Tagging 2 dead links using Checklinks |
||
Γραμμή 240:
Οι λογάριθμοι είναι εύκολο να υπολογιστούν σε κάποιες περιπτώσεις, όπως για παράδειγμα {{nowrap begin}}log<sub>10</sub>(10,000) = 4{{nowrap end}}. Εν γένει μπορούν να υπολογιστούν με χρήση [[δυναμοσειρά|δυναμοσειρών]] ή του [[αριθμητικός-γεωμετρικός μέσος|αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου]] ή να παρθούν από προϋπολογισμένο [[λογαριθμικός πίνακας|λογαριθμικό πίνακα]] με δεδομένη ακρίβεια.<ref>{{Citation | last1=Muller | first1=Jean-Michel | title=Elementary functions | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | edition=2nd | isbn=978-0-8176-4372-0 | year=2006}}, ενότητες 4.2.2 (σ. 72) και 5.5.2 (σ. 95)</ref><ref>{{Citation|author=Hart, Cheney, Lawson et al.|year=1968|publisher=John Wiley|location=New York|title=Computer Approximations|series=SIAM Series in Applied Mathematics}}, ενότητα 6.3, σ. 105–111</ref> Επιπλέον, ο [[αλγόριθμος δυαδικού λογαρίθμου]] υπολογίζει το lb(''x'') [[αναδρομή|αναδρομικά]] με βάση επαναλαμβανόμενους τετραγωνισμούς του ''x'', κάνοντας χρήση της σχέσης
:<math>\log_2(x^2) = 2 \log_2 (x). \,</math>
Η [[Μέθοδος Newton]], μία επαναληπτική μέθοδος προσεγγιστικής επίλυσης εξισώσεων, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του λογάριθμου, επειδή η αντίστροφη συνάρτηση, η εκθετική συνάρτηση, μπορεί να υπολογιστεί αποδοτικά.<ref>{{Citation|last1=Zhang|first1=M.|last2=Delgado-Frias|first2=J.G.|last3=Vassiliadis|first3=S.|title=Table driven Newton scheme for high precision logarithm generation|url=http://ce.et.tudelft.nl/publicationfiles/363_195_00326783.pdf|doi=10.1049/ip-cdt:19941268 |journal=IEE Proceedings Computers & Digital Techniques|issn=1350-387|volume=141|year=1994|issue=5|pages=281–292}}{{dead link|date=June 2015}}, ενότητα 1 για επισκόπιση του θέματος</ref>
Από θεωρητική άποψη, σύμφωνα με το [[θεώρημα Gelfond-Schneider]], οι λογάριθμοι συνήθως παίρνουν «δύσκολες» τιμές. Η τυπική διατύπωση βασίζεται στην έννοια των [[αλγεβρικοί αριθμοί|αλγεβρικών αριθμών]], οι οποίοι περιλαμβάνουν όλους τους [[ρητοί αριθμοί|ρητούς αριθμούς]], αλλά και αριθμούς όπως η [[τετραγωνική ρίζα του 2]] ή ο
Γραμμή 317:
Οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για την [[εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας]] παραμετρικών [[στατιστικό μοντέλο|στατιστικών μοντέλων]]. Για ένα τέτοιο μοντέλο, η [[συνάρτηση πιθανοφάνειας]] (''likelihood function'') εξαρτάται από τουλάχιστον μία [[παραμετρικό μοντέλο|παράμετρο]] που χρειάζεται να εκτιμηθεί. Ένα μέγιστο για τη συνάρτηση πιθανοφάνειας εμφανίζεται στην ίδια παράμετρο-τιμή όπως και στο μέγιστο του λογάριθμου της πιθανοφάνειας (λογαριθμο-πιθανοφάνεια), επειδή ο λογάριθμος είναι αύξουσα συνάρτηση.Η λογαριθμο-πιθανοφάνεια είναι ευκολότερο να μεγιστοποιηθεί, ειδικότερα για τις πολλαπλασιασμένες πιθανοφάνεις [[ανεξαρτησία (πιθανότητα)|ανεξάρτητων]] τυχαίων μεταβλητών.<ref>{{Citation|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, ενότητα 11.3</ref>
Ο [[νόμος του Benford]] περιγράφει την εμφάνιση ψηφίων σε πολλά [[σύνολο δεδομένων|σύνολα δεδομένων]], όπως για παράδειγμα τα ύψη κτηρίων]]. Σύμφωνα με τον νόμο του Benford, η πιθανότητα το πρώτο ψηφίο (στο δεκαδικό σύστημα) ενός αντικειμένου στο δείγμα δεδομένων να είναι ''d'' (από 1 έως 9) ισούται με log<sub>10</sub>(''d'' + 1) − log<sub>10</sub>(''d''), ανεξαρτήτως της μονάδας μέτρησης.<ref>{{Citation|last1=Tabachnikov|first1=Serge|title=Geometry and Billiards|publisher=American Mathematical Society|location=Providence, R.I.|isbn=978-0-8218-3919-5|year=2005|pages=36–40}}, ενότητα 2.1</ref> Συνεπώς, περίπου το 30% των δεδομένων αναμένεται να έχει πρώτο ψηφίο το 1, το 18% να ξεκινά με 2, κτλ. Οι εξεταστές λογιστικών βιβλίων εξετάζουν αποκλίσεις από τον νόμο του Benford ώστε να ανακαλύψουν λογιστικές απάτες.<ref>{{Citation|title=The Effective Use of Benford's Law in Detecting Fraud in Accounting Data|first1=Cindy|last1=Durtschi| first2=William | last2 = Hillison | first3 = Carl | last3 = Pacini | url=http://www.auditnet.org/articles/JFA-V-1-17-34.pdf| volume=V |pages=17–34|year=2004|journal=Journal of Forensic Accounting}}{{dead link|date=June 2015}}</ref>
=== Υπολογιστική πολυπλοκότητα ===
| |||