Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
Έχει αναπτυχθεί πλούσιο ρεπερτόριο γεωμετρικών και αλγεβρικών μεθόδων για την λύση του απολλώνιου προβλήματος,<ref name="altshiller-court_1961" >{{cite journal| author = Althiller-Court N| year = 1961| title = The problem of Apollonius| journal = The Mathematics Teacher| volume = 54| pages = 444–452}}</ref><ref name="gabriel-marie_1912" >{{cite book| author = Gabriel-Marie F| year = 1912| title = Exercices de géométrie, comprenant l'esposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues| publisher = [[Maison A. Mame et Fils]]| location = Tours| pages = [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV3924.0001.001;didno=ACV3924.0001.001;view=pdf;seq=00000048 18–20], [http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/pageviewer-idx?c=umhistmath;cc=umhistmath;rgn=full%20text;idno=ACV3924.0001.001;didno=ACV3924.0001.001;view=pdf;seq=00000703 673–677]| url = http://quod.lib.umich.edu/cgi/t/text/text-idx?c=umhistmath;idno=ACV3924}} {{fr icon}}</ref> το οποίο έχει αποκληθεί και «''το πιο διάσημο από όλα''» τα γεωμετρικά προβλήματα.<ref name="coolidge">{{cite book| author = [[Julian Coolidge|Coolidge JL]]| year = 1916| title = A Treatise on the Circle and the Sphere| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 167–172}}</ref> Η αρχική προσέγγιση του [[Απολλώνιος ο Περγαίος|Απολλώνιου του Περγαίου]] έχει χαθεί, αλλά έχουν προταθεί ανακατασκευές της λύσης του από τον [[Φρανσουά Βιέτ]] και άλλους, βασισμένες σε στοιχεία από την περιγραφή του [[Πάππος|Πάππου]].<ref name="pappus" >{{cite book| author = [[Πάππος]]| year = 1876| title = Pappi Alexandrini collectionis quae supersunt| editor = F Hultsch| edition = 3 volumes}} {{la icon}}</ref><ref name="bruen_1983"/> Η πρώτη νέα μέθοδος λύσης δημοσιεύτηκε το 1596 από τον [[Άντριαν φαν Ρόομεν]], ο οποίος θεώρησε τα κέντρα των κύκλων-λύσεων ως σημεία τομής δύο [[Υπερβολή (γεωμετρία)|υπερβολών]].<ref name="van_roomen_1596">{{cite book| author = [[Adriaan van Roomen|van Roomen A]]| year = 1596| title = Problema Apolloniacum quo datis tribus circulis, quaeritur quartus eos contingens, antea a…Francisco Vieta…omnibus mathematicis…ad construendum propositum, jam vero per Belgam…constructum| location = Würzburg|language = latin|publisher = Typis Georgii Fleischmanni}} {{la icon}}</ref><ref name="van roomen by newton">{{cite book| author = [[Isaac Newton|Newton I]]| year = 1974| title = The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691| editor = DT Whiteside| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-08719-8| page = 164}}</ref> Η μέθοδος του φαν Ρόομεν βελτιώθηκε από τον [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]] το 1687 στο έργο του ''[[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica|Principia]]'',<ref name="Newton_1687">{{cite book| author = [[Isaac Newton|Newton I]]| year = 1687| title = [[Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica]]| nopp = true| page = Book I, Section IV, Lemma 16}}</ref><ref>{{cite book| author = [[Isaac Newton|Newton I]]| year = 1974| title = The Mathematical Papers of Isaac Newton, Volume VI: 1684–1691| editor = DT Whiteside| publisher = Cambridge University Press| location = Cambridge| isbn = 0-521-08719-8| pages = 162–165, 238–241}}</ref> και από τον [[Τζον Κέισι]] (''John Casey'') το 1881.<ref name="casey_1881">{{cite book| author = [[John Casey (mathematician)|Casey J]]| origyear = 1881| title = A sequel to the first six books of the Elements of Euclid|isbn=978-1418166090|publisher=Hodges, Figgis & co.|year= 1886| page = 122}}</ref>
 
Η μέθοδος του φαν Ρόομεν, παρόλο που έλυσε επιτυχώς το απολλώνιο πρόβλημα, είχε ένα μειονέκτημα. Μία πολύτιμη ιδιότητα της κλασσικής [[Ευκλείδεια γεωμετρία|Ευκλείδειας γεωμετρίας]] είναι η δυνατότητα να λύνονται τα προβλήματα με τη χρήση μόνο [[κατασκευές με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]].<ref>{{cite book| author = Courant R, Robbins H| year = 1943| title = What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods| publisher = Oxford University Press| location = London| pages = 125–127, 161–162| isbn = 0195105192}}</ref> Πολλές κατασκευές είναι αδύνατες χρησιμοποιώντας μόνο αυτά τα εργαλεία, όπως η [[τριχοτόμηση της γωνίας]]. Εντούτοις πολλά τέτοια ''αδύνατα'' προβλήματα μπορούν αν λυθούν με αλληλοτεμνόμενες καμπύλες όπως οι υπερβολές, οι [[έλλειψη|ελλείψεις]] και οι [[παραβολή (γεωμετρία)|παραβολές]] ([[κωνικές τομές]]). Για παράδειγμα ο [[διπλασιασμός του κύβου]] (το πρόβλημα της κατασκευής ενός κύβου με διπλάσιο όγκο από ένα δεδομένο κύβο) δεν μπορεί να λυθεί με κανόνα και διαβήτη, όμως ο [[Μέναιχμος (μαθηματικός)|Μέναιχμος]] απέδειξε ότι το πρόβλημα μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας τις τομές δύο παραβολών.<ref>{{cite book|author=Bold B| title = Famous problems of geometry and how to solve them| publisher = Dover Publications| year = 1982| pages = 29–30| isbn = 0486242978}}</ref> Έτσι η λύση του φαν Ρόομεν, η οποία χρησιμοποιεί την τομή δύο υπερβολών, δεν εξακρίβωσε το αν μπορεί το πρόβλημα να λυθεί με κανόνα και διαβήτη.
 
Ο φίλος του φαν Ρόομεν, [[Φρανσουά Βιέτ]], ο οποίος ήταν αυτός που τον είχε παροτρύνει να δουλέψει πάνω στο απολλώνιο πρόβλημα, ανέπτυξε μία μέθοδο που χρησιμοποιούσε μόνο κανόνα και διαβήτη.<ref name="viete_1970">{{cite book| author = Viète F. |author-link = François Viète| title = Francisci Vietae Opera mathematica | chapter = Apollonius Gallus. Seu, Exsuscitata Apolloni Pergæi Περι Επαφων Geometria| publication-date=1646|editor = Frans van Schooten| url = http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k107597d.r=.langEN|publisher = ex officina B. et A. Elzeviriorum (Lugduni Batavorum)|language = latin| pages = 325–346|year=1600}} {{la icon}}</ref> Πριν την λύση του Βιέτ, ο [[Ρεγκιομοντάνους]] (''Regiomontanus'') αμφέβαλε στο κατά πόσο ήταν δυνατό να λυθεί το πρόβλημα μόνο με κανόνα και διαβήτη.<ref name="boyer_1991_322">{{cite book| author = [[Carl Benjamin Boyer|Boyer CB]], Merzbach UC| year = 1991| title = A History of Mathematics| edition= 2nd| publisher = John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-54397-7| chapter = Apollonius of Perga| page = 322}}</ref> Ο Βιέτ έλυσε αρχικά το πρόβλημα για κάποιες απλές περιπτώσεις, όπως την εύρεση κύκλου που διέρχεται από τρία δεδομένα σημεία, το οποίο έχει μόνο μία λύση αν τα σημεία είναι διακριτά. Στην συνέχεια έλυσε μερικές πιο πολύπλοκες ειδικές περιπτώσεις, σε κάποιες περιπτώσεις μικραίνοντας ή μεγαλώνοντας τους δεδομένους κύκλους.<ref name="Dörrie 1965"/> Σύμφωνα με μία αναφορά του 4ου αιώνα από τον [[Πάππος|Πάππο]], το βιβλίο του Απολλώνιου για το πρόβλημα με τίτλο ''{{πολυτονικό|Ἐπαφαί}}'' ([[λατ.]]: ''De tactionibus'', ''De contactibus'') ακολουθούσε παρόμοια προσέγγιση.<ref name="pappus"/> Έτσι η λύση του Βιέτ θεωρείται ως μία πιθανή ανακατασκευή αυτής του Απολλώνιου, ενώ έχουν προταθεί ανεξάρτητα και άλλες ανακατασκευές από τρεις διαφορετικούς συγγραφείς.<ref name="alt_reconstructions">[[Robert Simson|Simson R]] (1734) ''Mathematical Collection'', volume VII, p. 117.<br />{{cite book| author = Zeuthen HG| year = 1886| title = Die Lehre von den Kegelschnitten im Altertum| publisher = Unknown| location = Copenhagen| pages = 381–383}} {{de}}<br />{{cite book| author = [[T. L. Heath|Heath TL]]| title = A History of Greek Mathematics, Volume II: From Aristarchus to Diophantus| publisher = Clarendon Press| location = Oxford| pages = 181–185, 416–417}}</ref>
342

επεξεργασίες