Άνοιγμα κυρίου μενού

Αλλαγές

μ
Διόρθωση συντακτικών λαθών του κώδικα με τη χρήση AWB (11457)
Στα [[μαθηματικά]], '''θεωρία συνόλων''' ή '''συνολοθεωρία''' είναι η [[θεωρία]] που μελετάει τα [[σύνολο|σύνολα]], σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι). Αν και οποιοσδήποτε τύπος από αντικείμενα μπορεί να ορίσει σύνολο, η θεωρία συνόλων εφαρμόζεται συνήθως σε αντικείμενα σχετικά με τα μαθηματικά.
 
Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τον [[Γκέοργκ Κάντορ]] (Georg Cantor) και τον [[Ρίχαρντ Ντέντεκιντ|Ντέντεκιντ]] (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων στην άτυπη θεωρία συνόλων, πληθώρα συστημάτων αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία η [[Ζερμέλο-Φράνκελ θεωρία συνόλων]] (Zermelo–Fraenkel set theory), με το [[αξίωμα επιλογής]].
 
Η θεωρία συνόλων, που τυποποιείται με χρήση της [[λογική πρώτου βαθμού|λογικής πρώτου βαθμού]], είναι το πιο διαδεδομένο θεμελιώδες σύστημα για τα μαθηματικά. Η γλώσσα της θεωρίας συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι [[συνάρτηση|συναρτήσεις]], και έννοιες της συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα μαθηματικών. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και την ιδιότητα μέλους συνόλου μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, μαζί με [[διάγραμμα Venn|διαγράμματα Βεν]], για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η [[Ένωση συνόλων|ένωση]] και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η [[πληθάριθμος|πληθικότητα]] είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος μαθηματικών.
 
= Ιστορία =
Συνήθως οι μαθηματικές θεωρίες προκύπτουν και εξελίσσονται δια της αλληλεπιδράσεως μεταξύ των ερευνητών. Ωστόσο, η θεωρία συνόλων αναπτύχθηκε από μία και μοναδική εργασία του [[Γκέοργκ Κάντορ]] (Georg Cantor) το 1874: "Σχετικά με την χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών".
 
Ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός [[Ζήνων ο Ελεάτης|Ζήνων]] από την μία αλλά και οι αρχαίοι Ινδοί μαθηματικοί από την άλλη, εργάστηκαν πάνω στην έννοια του απείρου. Αξιοσημείωτη είναι η δουλειά του Μπερνάρντ Μπολζάνο ([[:en:Bernard_BolzanoBernard Bolzano|Bernard Bolzano]]) στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η μοντέρνα αντίληψη περί απείρου ξεκίνησε μεταξύ 1867-71, με την θεωρία του Κάντορ και την θεωρία των αριθμών. Μία συνάντηση των Κάντορ και [[Ρίχαρντ Ντέντεκιντ|Ντέντεκιντ]] (Richard Dedekind) το 1872 θα επηρεάσει ριζικά τον τρόπο σκέψης του Κάντορ καταλήγοντας στην σχετική εργασία του 1874.
[[File:Georg Cantor 1894.jpg|thumb|Γκέοργκ Κάντορ ]]
Το έργο του αρχικά δίχασε του μαθηματικούς της εποχής. Παρ' όλο που οι Καρλ Βάιερστρας ([[:en:Karl_WeierstrassKarl Weierstrass|Karl Weierstrass]]) και Ντέντεκιντ (Dedekind) υποστήριξαν τον Κάντορ, ο Λέοπολντ Κρόνεκερ ([[:en:Leopold_KroneckerLeopold Kronecker|Leopold Kronecker]]), θεμελιωτής της μαθηματικής συγκροτημένης σκέψης, δεν έπραξε το ίδιο. Η καντορική θεωρία συνόλων έγινε ευρέως γνωστή εξαιτίας της χρησιμότητας των εννοιών της, όπως της μία-προς-μία αντιστοιχίας συνόλων, της απόδειξής του ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί απ'ότι ακέραιοι, και του "απείρου των απείρων" ("Ο παράδεισος του Κάντορ" - "[[:en:Cantor's_paradises paradise|Cantor's paradise]]") αποτέλεσμα των πράξεων με δυναμοσύνολα. Η χρησιμότητα της θεωρίας συνόλων οδήγησε στο άρθρο "Μένγκενλερε" ("Mengenlehre") του Άρτουρ Σουνφλις ([[:en:Arthur_Moritz_SchoenfliesArthur Moritz Schoenflies|Arthur Schoenflies]]) που δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπαίδεια του Klein το 1898.
 
== Ορισμένη οντολογία ==
Κύριο άρθρο:το σύμπαν του von Neumann[[File:Von Neumann Hierarchy.svg|thumb|Ένα αρχικό τμήμα της ιεραρχίας von Neumann.]]
Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki>που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη θεωρία συνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von '''Neumann''', και πολλά συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια [[σωρευτική ιεραρχία]], βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας [[τακτικός αριθμός]] α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το [[λιγότερο άνω άκρο]] όλων των [[διαδόχων]] της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο <nowiki>{{}}</nowiki> συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο ''V''<sub>α</sub> ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με ''V''.
 
== Βασικές έννοιες και συμβολισμοί ==
 
== Αξιωματική θεωρία συνόλων ==
Η στοιχειώδης θεωρία των συνόλων μπορεί να μελετηθεί άτυπα και διαισθητικά , και έτσι μπορεί να διδαχθεί στα σχολεία της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης , χρησιμοποιώντας το [[Διάγραμμα Venn]]. Η διαισθητική προσέγγιση υποθέτει σιωπηρά ότι μια σειρά μπορεί να σχηματιστεί από την κλάση όλων των αντικειμένων που ικανοποιούν κάθε συγκεκριμένη και καθοριστική κατάσταση. Αυτή η υπόθεση δημιουργεί παράδοξα , τα απλούστερα και πιο γνωστά από τα οποία είναι το [[Παράδοξο του Russell]] και το [[Burali - Forti παράδοξο|Burali - Forti παράδοξο.]]. Η αξιωματική θεωρία συνόλων αρχικά επινοήθηκε για να απαλλαγούμε από την θεωρία των συνόλων αυτών των παραδόξων.
 
Τα πιο ευρέως μελετημένα συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων οδηγούν στο συμπέρασμα ότι όλα τα σύνολα αποτελούν μια [[Αθροιστική ιεραρχία]]. Τέτοια συστήματα ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες εκ των οποίων η οντολογία αποτελείται από:
* Μόνα σύνολα.Αυτό περιλαμβάνει την πιο κοινή αξιωματική θεωρία συνόλων , [[Zermelo - Fraenkel θεωρία συνόλων|'''[[Zermelo - Fraenkel θεωρία συνόλων]]''']] '''( ZFC )''', το οποίο περιλαμβάνει το [[Αξίωμα της επιλογής]].Θραύσματα του ZFC περιλαμβάνουν :
** Τη [[θεωρία συνόλων Zarmelo]], που αντικαθιστά [[Το αξίωμα σχήμα της αντικατάστασης]] με αυτό του [[Διαχωρισμού]];
** Τη [[Γενική θεωρία συνόλων]] , ένα μικρό θραύσμα από [[θεωρία συνόλων Zarmelo]] επαρκεί για τα [[Αξιώματα Peano]] και τα [[Πεπερασμένα σύνολα]];
* Σύνολα και [[κατάλληλες τάξεις]]. Αυτές περιλαμβάνουν [[τη θεωρία των συνόλων Von Neumann-Bernays-Γκέντελ]], η οποία έχει την ίδια δύναμη όπως η [[ZFC]] για θεωρήματα για τα σύνολα και μόνο, και η [[Μορς-Kelley θεωρία των συνόλων]] και η [[Tarski-Grothendieck θεωρία των συνόλων.]]<nowiki/>Και τα δύο είναι ισχυρότερα από ό,τι η ZFC.
 
Τα παραπάνω συστήματα μπορούν να τροποποιηθούν ώστε να επιτρέψουν [[urelements|'''[[urelements]]''']], αντικείμενα που μπορούν να είναι μέλη των συνόλων, αλλά που δεν είναι τα ίδια σύνολα και δεν έχουν κανένα μέλος.Τα συστήματα των '''[[Νέων Ιδρυμάτων]]''' '''NFU''' (επιτρέποντας [[urelements]]) και '''NF''' (χωρίς αυτά) δεν βασίζονται σε σωρευτική ιεραρχία. NF και NFU περιλαμβάνουν ένα "σύνολο των πάντων", σε σχέση με το οποίο κάθε ομάδα έχει ένα συμπλήρωμα. Σε αυτά τα συστήματα urelements σημασία έχει ότι χάρη στα NFU αλλά όχι στα NFU, παράγονται τα σύνολα για τα οποία το [[αξίωμα της επιλογής]] δεν τα κατέχει.Συστήματα [[εποικοδομητική θεωρία συνόλων|εποικοδομητικής θεωρίας συνόλων,]] όπως CST, czf, και IZF, ενσωματώνονται στο σύνολο αξιωμάτων τους στην [[ενορατική λογική|ενορατική]] αντί της [[κλασική λογική|κλασικής λογικής]]. Ωστόσο, άλλα συστήματα δέχονται την κλασική λογική, αλλά διαθέτουν μια όχι συνηθισμένη σχετικά με την ένταξη. Αυτά περιλαμβάνουν την [[ακατέργαστη θεωρία συνόλων|ακατέργαστη θεωρία των συνόλων]] και η [[συγκεχυμένη καθορισμένη θεωρία]], κατά την οποία η αξία ενός ατομικού τύπου που ενσωματώνει τη σχέση των μελών δεν είναι απλά '''Σωστό''' ή '''Λάθος'''. Η [[άλγεβρα Boole]] μοντέλα της [[ZFC]] είναι ένα συναφές θέμα.
 
Ένας εμπλουτισμός της [[ZFC]] ονομάζεται [[Εσωτερική Θεωρία Συνόλων]] και προτάθηκε από τον [[Έντουαρντ Νίλσον]] το 1977.
== Βιβλιογραφία ==
* "Naive Set Theory", Paul R. Halmos, Springer-Verlag, 1960 (ελληνική μετάφραση: "Αφελής συνολοθεωρία", μτφ. Γιώργος Κολέτσος, εκδόσεις Εκκρεμές, Αθήνα, 2002, ISBN 960-7651-26-X)
* "Notes on Set Theory", [[Γιάννης Μοσχοβάκης | Yannis N. Moschovakis]], Springer, 2nd edition, 2005 (λληνική έκδοση "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία", εκδόσεις Νεφέλη, 1993)
* "Set Theory", Tomas Jech, Springer, 3rd edition, [[2006]]*{{Ενσωμάτωση κειμένου|en|set theory}}
 
 
{{Μαθηματικά-υποσέλιδο}}
{{Authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
 
 
{{Μαθηματικά-επέκταση}}
 
16.024

επεξεργασίες