Σχέση ισοδυναμίας: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
μία σχέση μεταφέρθηκε στην πρόταση που έπρεπε |
Yobot (συζήτηση | συνεισφορές) μ Διόρθωση συντακτικών λαθών του κώδικα με τη χρήση AWB (11457) |
||
Γραμμή 19:
Ας είναι <math>\{a,b,c\}</math> ένα σύνολο με μια σχέση ισοδυναμίας <math>\{(a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\}</math>.Για αυτή τη σχέση οι κλάσεις ισοδυναμίας είναι:
<math>[a]=\{a\} ~~~~ [b]=[c]=\{b,c\}</math>
Σύνολο όλων των κλάσεων ισοδυναμίας για αυτή τη σχέση είναι <math>\{\{a\},\{b,c\}\}</math> .
Γραμμή 33 ⟶ 32 :
*"Είναι σύμφωνες με το" για το σύνολο όλων των τριγώνων.
*"Είναι σύμφωνες με,τη μορφή n" για τους [[Ακέραιος αριθμός|ακέραιους]].
*"Έχει την ίδια εικόνα με μια συνάρτηση" σχετικά με τα στοιχεία του τομέα της [[
*»Έχει την ίδια απόλυτη τιμή» για το σύνολο των πραγματικών αριθμών.
*"Έχει το ίδιο συνημίτονο" για το σύνολο όλων των γωνιών.
Γραμμή 84 ⟶ 83 :
===Ισοτιμία πυρήνα===
Η ισοτιμία του πυρήνα της συνάρτησης f είναι η ισοδυναμία ~ σχέση που ορίζεται από <math>x\sim y \iff f(x) = f(y)</math> . Η ισοτιμία του πυρήνα είναι μια [[
===Διαμέριση===
Γραμμή 116 ⟶ 115 :
*Για κάθε σύνολο X, υπάρχει μια σχέση ισοδυναμίας για το σύνολο [X → X] όλων των δυνατών συναρτήσεων X → X. Οι δύο αυτές συναρτήσεις θεωρούνται ισοδύναμες όταν αντίστοιχες σειρές τους έχουν τον ίδιο [[Πληθάριθμος|πληθάριθμο]]. Συναρτήσεις ισοδύναμες με τον τρόπο αυτό σχηματίζουν μία κλάση ισοδυναμίας για [X → X], και αυτές οι κλάσεις ισοδυναμίας, χώρισμα [X → X].
*Η τομή της κάθε συλλογής σχέσεων ισοδυναμίας πάνω στο Χ (θεωρείται ως ένα [[
Σημειώστε ότι η σχέση ισοδυναμίας που παράγεται με τον τρόπο αυτό μπορεί να είναι ασήμαντη. Για παράδειγμα, η σχέση ισοδυναμίας ~ παράγεται από:
Γραμμή 137 ⟶ 136 :
*~ Χωρίσματα Α σε κλάσεις ισοδυναμίας. (Αυτό είναι το θεμελιώδες θεώρημα των σχέσεων ισοδυναμίας που αναφέρθηκαν παραπάνω)
*Λαμβάνοντας υπόψη ένα κομμάτι του Α, G είναι μια ομάδα μετασχηματισμού σύμφωνα με τη σύνθεση, των οποίων οι τροχιές είναι τα μέρη του κομματιού
*Λαμβάνοντας υπόψη μια αλλαγή της [[
Εν ολίγοις, δίνεται μια σχέση ισοδυναμίας ~ πάνω στο Α, υπάρχει μια ομάδα μετασχηματισμού G πάνω στο A της οποίας η τροχιά είναι οι κλάσεις ισοδυναμίας της Α ~.
Γραμμή 143 ⟶ 142 :
Ο χαρακτηρισμός μεταμόρφωση της ομάδας των σχέσεων ισοδυναμίας διαφέρει ριζικά από τον τρόπο που χαρακτηρίζονται τα πλέγματα κλάσεων ισοδυναμίας. Τα επιχειρήματα της θεωρίας των πλεγμάτων ενώνονται και εντάσσονται ως στοιχεία ενός συνόλου Α. σύμπαντος Εν τω μεταξύ, τα επιχειρήματα των εργασιών της ομάδας μετασχηματισμού είναι στοιχεία ενός συνόλου διαμερίσεων, A → A.
Η μετακίνηση σε ομάδες σε γενικές γραμμές, εστω H είναι μια υποομάδα κάποιας ομάδας G. Ας είναι ~ μια σχέση ισοδυναμίας στο G, όπως και α ~ b ↔ (ab-1 ∈ H). Οι κλάσεις ισοδυναμίας της ~-που ονομάζονται επίσης τροχιές της δράσης του H στο G-είναι τα σωστά ομοσύνολα της H στην G.
Ας είναι σύνθετη συνάρτηση που θα ερμηνεύσει τον πολλαπλασιασμό της ομάδας, και αντίστροφη συνάρτηση [ου θα ερμηνεύσει την αντίστροφη ομάδας. Στη συνέχεια, G είναι μια ομάδα με σύνθεση, πράγμα που σημαίνει ότι ∀ x ∈ A ∀ g ∈ G ([g (x)] = [x]), επειδή G πληρεί τις ακόλουθες τέσσερις προϋποθέσεις:
Γραμμή 170 ⟶ 169 :
==Σχέσεις ισοδυναμίας και μαθηματικής λογικής==
Οι σχέσεις ισοδυναμίας αποτελούν μια έτοιμη πηγή με παραδείγματα ή αντιπαραδείγματα. Για παράδειγμα, μια σχέση ισοδυναμίας με ακριβώς δύο άπειρες κλάσεις ισοδυναμίας είναι ένα εύκολο παράδειγμα μιας θεωρίας η οποία είναι ω-υποσύνολο, αλλά όχι [[
Μια συνέπεια της θεωρίας μοντέλο είναι ότι οι ιδιότητες που καθορίζουν μια σχέση μπορούν να αποδειχθούν ανεξάρτητες μεταξύ τους (και ως εκ τούτου απαραίτητα μέρη του ορισμού) αν και μόνο αν, για κάθε ιδιότητα,τα παραδείγματα μπορούν να βρεθούν από τις σχέσεις που δεν πληρούν τη συγκεκριμένη ιδιότητα, ενώ ικανοποιούνται από όλες τις άλλες ιδιότητες. Ως εκ τούτου, οι τρεις καθορισμοί των ιδιοτήτων των σχέσεων ισοδυναμίας μπορούν να αποδειχθούν αμοιβαίως ανεξάρτητα από τα ακόλουθα τρία παραδείγματα:
Γραμμή 198 ⟶ 197 :
Ως εκ τούτου, μια σχέση ισοδυναμίας είναι μια σχέση που είναι Ευκλείδεια και ανακλαστική.
==Αναφορές==
| |||