Μαθηματική ανάλυση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Γραμμή 13:
Τον 14 <sup>ο</sup> αιώνα, o Madhava of Sangamagrama ανέπτυξε [[σειρά|άπειρες σειρές]] επεκτάσεων, όπως οι [[δυναμικές σειρές]] και οι [[σειρές Taylor]] συναρτήσεων όπως [[ημίτονο]], [[συνημίτονο]], [[εφαπτομένη]] και [[τόξο εφαπτομένης]]. Παράλληλα με την ανάπτυξη της σειράς Taylor των [[Τριγωνομετρική συνάρτηση|τριγωνομετρικών συναρτήσεων]], εκτιμήθηκε επίσης το μέγεθος των συνθηκών σφάλματος που δημιουργούνται από την περικοπή αυτών των σειρών και δόθηκε μια ορθολογική προσέγγιση της άπειρης σειράς. Οι οπαδοί του στο [[Κεράλα|σχολείο αστρονομίας και μαθηματικών Κεράλα]] επέκτειναν περαιτέρω τα έργα του, μέχρι τον 16ο αιώνα.
Τα σύγχρονα θεμέλια της μαθηματικής ανάλυσης ιδρύθηκαν στην Ευρώπη του 17ου αιώνα. Ο [[Καρτέσιος]] και ο [[Πιερ ντε Φερμά|Φερμά]] ανέπτυξαν ανεξάρτητα την [[αναλυτική γεωμετρία]], και μερικές δεκαετίες αργότερα ο [[Ισαάκ Νεύτων|Νεύτωνας]] και ο [[Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς|Λάιμπνιτς]] ανεξάρτητα ανέπτυξαν τον [[Λογισμός|απειροστικό λογισμό]], ο οποίος αναπτύχθηκε, με κίνητρο την εφαρμοσμένη εργασία που συνεχίστηκε μέχρι τον 18ο αιώνα, σε θέματα ανάλυσης, όπως ο [[λογισμός των μεταβολών]], [[Συνήθης διαφορική εξίσωση|συνήθεις]] και [[μερικές διαφορικές εξισώσεις]], [[Ζοζέφ Φουριέ|ανάλυση Φουριέ]], και οι [[παράγωγος|παραγωγικές συναρτήσεις]]. Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου, οι τεχνικές λογισμού εφαρμόστηκαν για την προσέγγιση [[διακριτά προβλήματα|διακριτών προβλημάτων]] και την συνέχιση τους.
Τον 18<sup>ο</sup> αιώνα ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] εισήγαγε την έννοια της [[Συνάρτηση|Μαθηματικής Συνάρτησης]]. Η Πραγματική Ανάλυση άρχισε να αναδεικνύεται σαν ανεξάρτητος κλάδος, όταν ο [[Bernard Bolzano|Μπέρναρντ Μπολτσάνο]] εισήγαγε τον σύγχρονο ορισμό της
Στα μέσα του 19ου αιώνα o [[Riemann]] εισήγαγε τη θεωρία του για την [[ολοκλήρωση]]. Το τελευταίο τρίτο του αιώνα αναδείχθηκε η [[αριθμητική ανάλυση]] από τον [[Weierstrass]], ο οποίος πίστευε ότι η γεωμετρική συλλογιστική ήταν εγγενώς παραπλανητική, και εισήγαγε τον [["έψιλον-δέλτα" ορισμό]] του [[Όριο (μαθηματικά)|ορίου]]. Στη συνέχεια, οι μαθηματικοί άρχισαν να ανησυχούν ότι θα υποτεθεί η ύπαρξη [[ομοιογένεια]]ς των [[πραγματικοί αριθμοί|πραγματικών αριθμών]] χωρίς απόδειξη. Ο [[Dedekind]] κατασκεύασε τους πραγματικούς αριθμούς με τις [[Dedekind περικοπές]], στις οποίες οι άρρητοι αριθμοί είναι τυπικά καθορισμένοι , οι οποίοι χρησιμεύουν για να γεμίσουν τα “ κενά” μεταξύ των ρητών αριθμών, δημιουργώντας έτσι ένα [[πλήρες]] σύνολο: το συνεχές των πραγματικών αριθμών, το οποίο είχε ήδη αναπτυχθεί από τον [[Simon Stevin]] υπό τις συνθήκες των [[δεκαδικές επεκτάσεις|δεκαδικών επεκτάσεων]]. Εκείνη την εποχή, οι προσπάθειες για να βελτιωθούν τα [[θεωρήματα ολοκλήρωσης|θεωρήματα]] του [[Riemann για την ολοκλήρωση]] οδήγησε στη μελέτη του "μεγέθους" του συνόλου των ασυνεχειών των πραγματικών συναρτήσεων.
| |||