|
== Συνάφεια με τη Χρυσή Αναλογία ==
=== Έκφραση Κλειστής Μορφής ===
Όπως κάθε ακολουθία, η οποία προσδιορίζεται από αναδρομική σχέση, έτσι και η ακολουθία Φιμπονάτσι έχει λύση κλειστής μορφής. Αυτή είναι γνωστή ως Φόρμουλα του Binet, αν και ήταν ήδη γνωστό από τον [[Αβραάμ ντε Μουάβρ]]
:<math>F_n = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\varphi-\psi} = \frac{\varphi^n-\psi^n}{\sqrt 5}</math>
όπου
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.61803\,39887\dots\,</math>
είναι η [[χρυσή τομή|χρυσή αναλογία]], και
:<math>\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = 1 - \varphi = - {1 \over \varphi}.</math><ref>Ball p. 156</ref>
Για να το δούμε αυτό,<ref>Following Ball p. 155-156</ref> θα πρέπει το φ και το ψ να είναι και τα δύο λύσεις της εξίσωσης
:<math>x^2=x+1,\,x^n=x^{n-1}+x^{n-2},\,</math>
οπότε οι δυνάμει των φ και ψ ικανοποιούν την αναδρομική σχέση Φιμπονάτσι. Δηλαδή
:<math>\varphi^n = \varphi^{n-1} + \varphi^{n-2}\, </math>
και
:<math>\psi^n = \psi^{n-1} + \psi^{n-2}\, .</math>
Αυτό ισχύει για κάθε τιμή των ''a'' και ''b'' και η ακολουθία ορίζεται από
:<math>U_n=a \varphi^n + b \psi^n</math>
και ικανοποιεί την ίδια αναδρομική σχέση
:<math>U_n=a \varphi^{n-1} + b \psi^{n-1} + a \varphi^{n-2} + b \psi^{n-2}=U_{n-1}+U_{n-2}.\,</math>
Εάν ''a'' και ''b'' επιλεγούν έτσι ώστε ''U''<sub>0</sub> = 0 και ''U''<sub>1</sub> = 1 τότε η ακολουθία ''U''<sub>''n''</sub>που προκύπτει είναι η ακολουθία Φιμπονάτσι. Αυτό είναι το ίδιο αν απαιτήσουμε τα ''a'' και ''b'' να ικανοποιούν το παρακάτω σύστημα εξισώσεων:
:<math>a+b=0\,</math>
:<math>\varphi a + \psi b = 1\,</math>
το οποίο έχει λύση
:<math>a=1/(\varphi-\psi)=1/\sqrt 5,\, b=-a</math>
και παράγει την απαιτούμενη φόρμουλα.
===Υπολογισμός με στρογγυλοποίηση===
| 