Λογάριθμος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

=== Παράγωγος και αντιπαράγωγος ===

[[Αρχείο:Logarithm derivative.svg|right|thumb|220|Η γραφική παράσταση του φυσικού λογαρίθμου (πράσινο) και η εφαπτομένη του στο {{nowrap|''x'' {{=}} 1.5}} (μαύρο)]]

: <math>\frac{d}{dx} \log_b(x) = \frac{1}{x\ln(b)}. </math>

Τουτέστιν, η [[Κλίση συνάρτησης|κλίση]] της [[εφαπτομένη]]ς που εφάπτεται στη γραφική παράσταση του λογαρίθμου με βάση ''b'' στο σημείο {{nowrap|(''x'', log_''b''(''x''))}} ισούται με {{nowrap|1/(''x'' ln(''b''))}}. Πιο συγκεκριμένα, η παράγωγος του ln(''x'') είναι 1/''x'', το οποίο υποδηλώνει ότι η [[αντιπαράγωγος]] του 1/''x'' είναι {{nowrap|ln(''x'') + C}}. Η παράγωγος με γενικευμένο όρισμα ''f''(''x'') είναι

Οι λογάριθμοι εμφανίζονται και στην [[θεωρία πιθανοτήτων]]: σύμφωνα με τον [[νόμος των μεγάλων αριθμών|νόμο των μεγάλων αριθμών]], για ένα [[δίκαιο νόμισμα]] , καθώς ο αριθμός που ρίχνεται το νόμισμα τείνει στο άπειρο, η παρατηρούμενη αναλογία των «κεφαλών» τείνει στο μισό. Οι αυξομειώσεις αυτής της αναλογίας γύρω από το μισό περιγράφονται από τον [[νόμο του επαναλαμβανόμενου λογάριθμου]].<ref>{{Citation | last1=Breiman | first1=Leo | title=Probability | publisher=Society for Industrial and Applied Mathematics | location=Philadelphia | series=Classics in applied mathematics | isbn=978-0-89871-296-4 | year=1992}}, ενότητα 12.9</ref>

 

 

Οι λογάριθμοι χρησιμοποιούνται για την [[εκτίμηση μέγιστης πιθανοφάνειας]] παραμετρικών [[στατιστικό μοντέλο|στατιστικών μοντέλων]]. Για ένα τέτοιο μοντέλο, η [[συνάρτηση πιθανοφάνειας]] (''likelihood function'') εξαρτάται από τουλάχιστον μία [[παραμετρικό μοντέλο|παράμετρο]] που χρειάζεται να εκτιμηθεί. Ένα μέγιστο για τη συνάρτηση πιθανοφάνειας εμφανίζεται στην ίδια παράμετρο-τιμή όπως και στο μέγιστο του λογάριθμου της πιθανοφάνειας (λογαριθμο-πιθανοφάνεια), επειδή ο λογάριθμος είναι αύξουσα συνάρτηση.Η λογαριθμο-πιθανοφάνεια είναι ευκολότερο να μεγιστοποιηθεί, ειδικότερα για τις πολλαπλασιασμένες πιθανοφάνεις [[ανεξαρτησία (πιθανότητα)|ανεξάρτητων]] τυχαίων μεταβλητών.<ref>{{Citation|last1=Rose|first1=Colin|last2=Smith|first2=Murray D.|title=Mathematical statistics with Mathematica|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|series=Springer texts in statistics|isbn=978-0-387-95234-5|year=2002}}, ενότητα 11.3</ref>

=== Υπολογιστική πολυπλοκότητα ===

 

 

Για παράδειγμα, για την εύρεση ενός αριθμού σε ένα ταξινομημένο κατάλογο, ο [[Δυαδική αναζήτηση|αλγόριθμος δυαδικής αναζήτησης]] ελέγχει τη μεσαία καταχώρηση και προχωρά με τον μισό κατάλογο πριν ή μετά το μεσαίο αν ο αριθμός δεν έχει ακόμα βρεθεί. Αυτός ο αλγόριθμος απαιτεί, κατά μέσο όρο, log₂(''N'') συγκρίσεις, όπου ''N'' είναι το μήκος του καταλόγου.<ref>{{citation | last = Knuth | first = Donald | authorlink = Donald Knuth | title = The Art of Computer Programming | publisher = Addison-Wesley |location=Reading, Mass. | year= 1998| isbn = 978-0-201-89685-5 |ref=nb}}, ενότητα 6.2.1, σσ. 409–426</ref> Παρομοίως, ο αλγόριθμος [[Ταξινόμηση με συγχώνευση|merge sort]] ταξινομεί ένα αταξινόμητο κατάλογο χωρίζοντάς τον στη μέση και ταξινομώντας πρώτα τα μισά πριν συνδυάσει τα αποτελέσματα. Οι αλγόριθμοι merge sort τυπικά απαιτούν χρόνο [[συμβολισμός O|περίπου ανάλογο του]] {{nowrap|''N'' · log(''N'')}}.<ref>{{Harvnb|Knuth|1998|loc=ενότητα 5.2.4, σσ. 158–168|nb=yes}}</ref> Η βάση του λογάριθμου δεν καθορίζεται εδώ επειδή το αποτέλεσμα αλλάζει μόνο κατά ένα σταθερό παράγοντα όταν χρησιμοποιείται άλλη βάση. Ένας σταθερός παράγοντας, συνήθως δεν λαμβάνεται υπόψη στην ανάλυση αλγορίθμων υπό το τυπικό μοντέλο ομοιόμορφου κόστους.<ref name=Wegener20>{{Citation|last1=Wegener|first1=Ingo| title=Complexity theory: exploring the limits of efficient algorithms|publisher=Springer-Verlag|location=Berlin, New York|isbn=978-3-540-21045-0|year=2005|page=20}}</ref>