Μετασχηματισμοί Λόρεντς: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
To "Μετασχηματισμοί Λόρεντζ" μετακινήθηκε στο "Μετασχηματισμός Λόρεντζ" |
μΧωρίς σύνοψη επεξεργασίας |
||
Γραμμή 1:
Οι '''Μετασχηματισμοί Λόρεντζ''', οι οποίοι ονομάστηκαν προς τιμήν του [[Ολλανδία|Ολλανδού]] [[Φυσική|φυσικού]] και [[μαθηματικά|μαθηματικού]] που τους επινόησε, του [[Χέντρικ Λόρεντζ]] ''(Hendrik Antoon Lorentz)'' ([[1853]]-[[1928]]), αποτελούν τη βάση της [[Ειδική Θεωρία Σχετικότητας|Ειδικής θεωρίας της Σχετικότητας]], η οποία εισήχθη σε μια προσπάθεια να αρθούν οι αντιφάσεις ανάμεσα στις θεωρίες του [[ηλεκτρομαγνητισμός|ηλεκτρομαγνητισμού]] και της [[Κλασική Μηχανική|Κλασικής Μηχανικής]].
Κάτω από τους μετασχηματισμούς αυτούς, η [[ταχύτητα του φωτός]] είναι η ίδια σε όλα τα συστήματα αναφοράς, όπως αξιώνει η ειδική σχετικότητα. Μολονότι οι εξισώσεις συνδέονται με την ειδική σχετικότητα, διατυπώθηκαν πριν την ειδική σχετικότητα και προτάθηκαν από τον Λόρεντζ το [[1904]] σαν μια εξήγηση του [[Πείραμα Μάικελσον-Μόρλεϋ|πειράματος Μάικελσον-Μόρλεϋ]] ''(Michelson-Morley)'', μέσω της συστολής του μήκους. Οι μετασχηματισμοί έρχονται σε αντίθεση με τους περισσότερο διαισθητικούς [[Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου|μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου]], που δίνουν καλά αποτελέσματα σε μη-σχετικιστικές (χαμηλές) ταχύτητες.
Μπορούν να χρησιμοποιηθούν (για παράδειγμα) για να υπολογίσουμε πώς φαίνεται η τροχιά ενός σωματιδίου από ένα [[αδρανειακό σύστημα αναφοράς]] που κινείται με σταθερή ταχύτητα (σε σχέση με το αρχικό "ακίνητο" σύστημα αναφοράς). Αντικαθιστούν τους προγενέστερους [[Μετασχηματισμοί Γαλιλαίου|μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου]]. Η ταχύτητα του φωτός,''c'', εισέρχεται σαν παράμετρος στους μετασχηματισμούς Λόρεντζ. Αν η ταχύτητα ''υ'' είναι επαρκώς μικρή σε σχέση με την ''c'', τότε <math> v/c \to 0</math>, και ανακτούμε οριακά τους μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου.
Οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ αποτελούν μια [[ομάδα μετασχηματισμών]] που χρησιμοποιείται για να μετασχηματίσει τις χωροχρονικές συντεταγμένες (ή γενικότερα, οποιοδήποτε [[τετραδιάνυσμα]]) από ένα [[αδρανειακό σύστημα αναφοράς]], <math>S</math>, σε ένα άλλο, <math>S'</math>, όπου το <math>S'</math> κινείται με σχετική [[ταχύτητα]] <math>{\upsilon}</math> ως προς το <math>S</math> κατά μήκος του χ-άξονα. Αν ένα [[γεγονός]] έχει χωρο-χρονικές συντεταγμένες <math>(t, x, y, z)</math> στο <math>S</math> και <math>(t', x', y', z')</math> στο <math>S'</math>,
τότε αυτές συσχετίζονται με βάση τους μετασχηματισμούς Λόρεντζ με τον ακόλουθο τρόπο:
: <math>t' = \gamma \left(t - \frac{v x}{c^{2}} \right)</math>
: <math>x' = \gamma \left(x - v t \right)</math>
: <math>y' = y</math>
: <math>z' = z</math>
όπου το
: <math>\gamma \equiv \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}}</math>
καλείται [[παράγοντας Λόρεντζ]]
και <math>c</math> είναι η [[ταχύτητα του φωτός]] στο κενό.
Οι παραπάνω τέσσερεις εξισώσεις μπορούν να γραφούν συμπαγώς σε μορφή [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακα]] ως εξής
: <math>
\begin{bmatrix}
t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c^2} \gamma&0&0\\
-v \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}
</math>
ή εναλλακτικά ως
: <math>
\begin{bmatrix}
c t' \\x' \\y' \\z'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{v}{c} \gamma&0&0\\
-\frac{v}{c} \gamma&\gamma&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t\\x\\y\\z
\end{bmatrix}.
</math>
Η πρώτη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι φαίνεται εύκολα ότι ανάγεται στους [[μετασχηματισμοί Γαλιλαίου|μετασχηματισμούς του Γαλιλαίου]] στο όριο <math> \upsilon /c \to 0</math>. Η δεύτερη μορφή έχει το πλεονέκτημα ότι δείχνει σαφώς τη διατήρηση του [[χωροχρονικό μήκος|χωροχρονικού μήκους]] <math>ds^2 = (cdt)^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2</math>, που είναι μια θεμελιώδης [[αναλλοίωτο|αναλλοίωτη ποσότητα]] της ειδικής σχετικότητας.
Οι εξισώσεις αυτές ισχύουν μόνο στην περίπτωση που η ταχύτητα <math>{\upsilon}</math> βρίσκεται κατά μήκος του χ-άξονα. του συστήματος <math>S</math>. Σε περιπτώσεις όπου η <math>{\upsilon}</math> δε δείχνει κατά μήκος του χ-άξονα του <math>S</math>, είναι συνήθως ευκολότερο να κάνουμε μια περιστροφή του συστήματος, ώστε να φέρουμε την <math>{\upsilon}</math> κατά μήκος του χ-άξονα του <math>S</math>, παρά να μπλέξουμε με τη γενική μορφή του μετασχηματισμού Λόρεντζ.
Για μια [[Προώθηση Λόρεντζ|προώθηση]] (boost) σε τυχούσα κατεύθυνση, είναι βολικό να αναλύσουμε το χωρικό διάνυσμα <math>\mathbf{x}</math> σε συνιστώσες κάθετες και παράλληλες προς την ταχύτητα <math>\mathbf{\upsilon}</math>: <math>\mathbf{x}=\mathbf{x}_\perp+\mathbf{x}_\|</math>. Μόνο η συνιστώσα <math>\mathbf{x}_\|</math> στην κατεύθυνση της <math>\mathbf{\upsilon}</math> μεταβάλλεται κατά τον παράγοντα <math>\gamma</math>:
: <math>t' = \gamma \left(t - \frac{\upsilon x_\|}{c^{2}} \right)</math>
: <math>\mathbf{x}' = \mathbf{x}_\perp + \gamma \left(\mathbf{x}_\| - \mathbf{\upsilon} t \right)</math>
Οι παραπάνω εξισώσεις μπορούν να εκφραστούν σε μορφή πίνακα ως
: <math>
\begin{bmatrix}
c t' \\ \\ \mathbf{x}'
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
\gamma&-\frac{\mathbf{\upsilon^T}}{c}\gamma\\ \\
-\frac{\mathbf{\upsilon}}{c}\gamma&\mathbf{1}+\frac{\mathbf{\upsilon}\cdot\mathbf{\upsilon^T}}{\upsilon^2}(\gamma-1)\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
c t\\ \\ \mathbf{x}
\end{bmatrix}
</math>.
Ένας ακόμη περιοριστικός παράγοντας του παραπάνω μετασχηματισμού είναι ότι η "αρχή" των αξόνων των δύο συστημάτων πρέπει να συμπίπτει για <math>t = t' = 0</math>. Αυτό σημαίνει ότι το "γεγονός" με συντεταγμένες <math>(0, 0, 0, 0)</math> στο σύστημα <math>S</math> πρέπει να είναι το ίδιο με το "γεγονός" με συντεταγμένες <math>(0, 0, 0, 0)</math> στο <math>S'</math>. Μια γενίκευση των μετασχηματισμών Λόρεντζ που χαλαρώνει αυτή την απαίτηση είναι οι [[Ομάδα Πουανκαρέ|μετασχηματισμοί Πουανκαρέ]].
Γενικότερα, αν Λ είναι οποιοσδήποτε 4x4 [[Πίνακας (μαθηματικά)|πίνακας]] τ.ω. Λ<sup>T</sup>''g''Λ=''g'', όπου T είναι ο [[ανάστροφος πίνακας|ανάστροφος]] του πίνακα και
:<math>g=
\begin{bmatrix}
1&0&0&0\\
0&-1&0&0\\
0&0&-1&0\\
0&0&0&-1
\end{bmatrix}</math>
και X είναι το [[Τετραδιάνυσμα|4-άνυσμα]] που περιγράφει τις [[χωρόχρονος|χωροχρονικές]] [[μετατόπιση|μετατοπίσεις]], τότε ο <math>X\rightarrow \Lambda X</math> είναι ο πιο γενικός μετασχηματισμός Λόρεντζ. Οι ορισμένοι μ' αυτό τον τρόπο πίνακες Λ αποτελούν μια αναπαράσταση της [[Ομάδα (μαθηματικά)|ομάδας]] ''SO(3,1)'', γνωστή επίσης και ως [[ομάδα Λόρεντζ]].
<!-- Under the [[Erlangen program]], [[Minkowski space]] can be viewed as the [[geometry]] defined by the [[Poincaré group]], which combines Lorentz transformations with translations. -->
== Ιστορία ==
Ο Λόρεντζ ανακάλυψε στα [[1900]] ότι οι μετασχηματισμοί διατηρούν αναλλοίωτες τις [[εξισώσεις του Μάξγουελ]] ''(Maxwell)''. Ωστόσο, ο Λόρεντζ δεχόταν την υπόθεση του [[αιθέρας (φυσική)|αιθέρα]]· ήταν ο [[Άλμπερτ Αϊνστάιν]] που πρώτος ανέπτυξε τη [[Θεωρία της Σχετικότητας]] και θεμελίωσε τους μετασχηματισμούς σε στέρεο φυσικό υπόβαθρο.
Οι μετασχηματισμοί Λόρεντζ δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά το [[1904]], αλλά ο φορμαλισμός τους ήταν προς το παρόν ατελής. Ο [[Ανρί Πουανκαρέ]] ''(Henri Poincaré)'', [[Γαλλία|Γάλλος]] [[μαθηματικά|μαθηματικός]], αναθεώρησε τον φορμαλισμό του Λόρεντζ για να κάνει τις τέσσερεις εξισώσεις ένα συνεκτικό, αυτοσυνεπές σύνολο, όπως τις ξέρουμε σήμερα.
[[Κατηγορία:Ειδική σχετικότητα]]
[[Κατηγορία:Εξισώσεις]]
[[da:Lorentz-transformation]]
[[de:Lorentz-Transformation]]
[[en:Lorentz transformation]]
[[es:Transformación de Lorentz]]
[[fr:Transformation de Lorentz]]
[[he:טרנספורמציות לורנץ]]
[[it:Trasformazione di Lorentz]]
[[ja:ローレンツ変換]]
[[ko:로렌츠 변환]]
[[nl:Lorentztransformatie]]
[[pl:Transformacja Lorentza]]
[[pt:Transformação de Lorentz]]
[[ru:Преобразования Лоренца]]
[[sv:Lorentztransformation]]
[[zh:洛仑兹变换]]
| |||