Χρυσή τομή: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
Χωρίς σύνοψη επεξεργασίας
Tinigrillion (συζήτηση | συνεισφορές)
μ Αναίρεση έκδοσης 5630651 από τον 62.1.183.174 (Συζήτηση)
Γραμμή 36:
| <math>\frac{13}{8}+\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{(n+1)}(2n+1)!}{(n+2)!n!4^{(2n+3)}}</math><br />
|}
Νικολας Λιναρδατος
 
Δύο ποσότητες ''α'' και ''β'' λέγεται ότι είναι σε ''χρυσή αναλογία'' ''φ'', εάν:
:
 
:<math> \frac{a+b}{a} = \frac{a}{b} = \varphi.</math>
 
Μία μέθοδος για την εύρεση της τιμής του φ είναι να ξεκινήσουμε με το αριστερό κλάσμα. Με απλοποίηση του κλάσματος και αντικαθιστώντας το b / a = 1 / φ,
 
:<math>\frac{a+b}{a} = 1 + \frac{b}{a} = 1 + \frac{1}{\varphi},</math>
 
φαίνεται ότι
 
:<math> 1 + \frac{1}{\varphi} = \varphi. </math>
 
Πολλαπλασιάζοντας με ''φ'' παίρνουμε ότι
 
:<math>\varphi + 1 = \varphi^2</math>
 
το οποίο μπορεί να διαμορφωθεί σε
 
:<math>{\varphi}^2 - \varphi - 1 = 0.</math>
 
Χρησιμοποιώντας την [[Δευτεροβάθμια εξίσωση|φόρμουλα επίλυσης δευτεροβάθμιων εξισώσεων]], λαμβάνουμε δύο λύσεις:
:<math>\varphi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1.61803\,39887\dots</math>
 
και
 
:<math>\varphi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2} = -0.6180\,339887\dots</math>
Επειδή το ''φ'' είναι η αναλογία μεταξύ θετικών ποσοτήτων, το ''φ'' είναι απαραιτήτως θετικό:
 
Γραμμή 185 ⟶ 209 :
 
===Μουσική===
Ο Ernő Lendvai αναλύει τα έργα του [[Μπέλα Μπάρτοκ]] σαν να είναι βασισμένα σε δύο αντιτιθέμενα συστήματα,της χρυσής αναλογίας και της ακουστικής κλίμακας <ref>Lendvai, Ernő (1971). ''Béla Bartók: An Analysis of His Music''. London: Kahn and Averill.</ref>, αν και άλλοι επιστήμονες μουσικής απορρίπτουν την ανάλυση αυτή.<ref name="Livio, Mario"/> Στο ''Music for Strings,Percussion and Celesta'' του Bartok, η εξέλιξη του ξυλόφωνου συμβαίνει στα διαστήματα 1:2:3:5:8:5:3:2:1.<ref name="Smith">Smith, Peter F. ''[http://books.google.com/books?id=ZgftUKoMnpkC&pg=PA83&dq=bartok+intitle:The+intitle:Dynamics+intitle:of+intitle:Delight+intitle:Architecture+intitle:and+intitle:Aesthetics&as_brr=0&ei=WkkSR5L6OI--ogLpmoyzBg&sig=Ijw4YifrLhkcdQSMVAjSL5g4zVk The Dynamics of Delight: Architecture and Aesthetics]'' (New York: Routledge, 2003) pp 83, ISBN 0-415-30010-X</ref> Ο Γάλλος συνθέτης [[Ερίκ Σατιέ]] χρησιμοποίησε τη χρυσή αναλογία σε πολλά από τα κομμάτια του, συμπεριλαμβανομένου του ''Sonneries de la Rose + Croix''. Η χρυσή αναλογία είναι επίσης εμφανής στην οργάνωση των τμημάτων στη μουσική του [[Κλωντ Ντεμπυσσύ]] ''Reflets dans l'eau'' ''(Αντανακλάσεις στο νερό)'', από τις ''Εικόνες'' (1η σειρά, 1905), στις οποίες «η ακολουθία των πλήκτρων χαρακτηρίζεται από τα διαστήματα 34, 21, 13 και 8, και η κύρια κορύφωση εμφανίζεται στην θέση του φ ".<ref name=Smith />
 
Ο μουσικολόγος Roy Howat έχει παρατηρήσει ότι τα τυπικά όρια της ''La Mer'' αντιστοιχούν ακριβώς στη χρυσή τομή.<ref>{{Cite book| title = Debussy in Proportion: A Musical Analysis | author = Roy Howat | url = http://books.google.com/?id=4bwKykNp24wC&pg=PA169&dq=intitle:Debussy+intitle:in+intitle:Proportion+golden+la-mer | publisher = Cambridge University Press | year = 1983 | isbn = 0-521-31145-4 }}</ref> Ο Trezise βρίσκει τα εγγενή στοιχεία «αξιοσημείωτα», αλλά προειδοποιεί ότι κανένα γραπτό ή αναφερόμενο στοιχείο δεν δείχνει ότι ο Debussy αναζητούσε συνειδητά τέτοιες αναλογίες.<ref>{{Cite book| title = Debussy: La Mer | author = Simon Trezise | publisher = Cambridge University Press | year = 1994 | isbn = 0-521-44656-2 | page = 53 | url = http://books.google.com/?id=THD1nge_UzcC&pg=PA53&dq=inauthor:Trezise+golden+evidence }}</ref>