Βικιπαίδεια

Π (μαθηματική σταθερά): Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Περιήγηση ιστορικού διαδραστικά
← Προηγούμενη διαφοράΕπόμενη διαφορά →
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
ΟπτικήΚώδικας wiki
Spiros790 (συζήτηση | συνεισφορές)
64.642 επεξεργασίες
Πραγματα
Γραμμή 1:
{{DISPLAYTITLE:{{mvar|π}} (μαθηματική σταθερά)}}
{{Μτφ-επιμέλεια}}
{{άλλεςχρήσεις4|την μαθηματική σταθερά π||Πι}}
{{Πλαίσιο π (μαθηματική σταθερά)}}
Ο αριθμός '''{{pi}}''' είναι μια [[μαθηματική σταθερά]] οριζόμενη ως ο [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] της [[Περιφέρεια (μαθηματικά)|περιφέρειας]] προς τη [[διάμετρος|διάμετρο]] ενός [[κύκλος|κύκλου]], ενώ με ακρίβεια οκτώ δεκαδικών ψηφίων είναι ίση με {{mvar|3,14159265}}. Εκφράζεται με το ελληνικό γράμμα {{pi}} από τα μέσα του 18ου αιώνα, παρότι επίσης μερικές φορές γράφεται ως ''pi''.
 
Ο {{pi}} είναι ένας [[άρρητος αριθμός]], που σημαίνει ότι δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως λόγος [[Αναλογία (Μαθηματικά)|λόγος]] δύο [[ακέραιος|ακεραίων]] (όπως 22/7 ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγιση του π)· κατά συνέπεια, η [[απεικόνιση|δεκαδική απεικόνιση]] δεν τελειώνει ποτέ και ποτέ δεν εγκαθίσταται σε μια μόνιμη και επαναλαμβανόμενη παράσταση. Τα ψηφία φαίνεται να εμφανίζονται με τυχαία σειρά, αν και δεν έχει ανακαλυφθεί ακόμη κάποια απόδειξη για αυτό. Ο π είναι ένας [[υπερβατικός αριθμός]], δηλαδή δεν αποτελεί ρίζα ενός μη-μηδενικού πολυωνύμου με ρητούς συντελεστές. Αυτό έχει σαν συνέπεια ότι είναι αδύνατο να λυθεί η αρχαία πρόκληση του [[Τετραγωνισμός του κύκλου|τετραγωνισμού του κύκλου]] με κανόνα και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].
 
Για χιλιάδες χρόνια, μαθηματικοί προσπάθησαν να επεκτείνουν την κατανόησή τους πάνω στο π, κάποιες φορές με τον υπολογισμό της αξίας σε υψηλό βαθμό ακρίβειας. Πριν από τον 15ο αιώνα, μαθηματικοί όπως ο [[Αρχιμήδης]] και ο [[Liu Hui]] χρησιμοποίησαν γεωμετρικές τεχνικές βασιζόμενες σε πολύγωνα, για να υπολογίσουν την αξία του π. Περί τον 15ο αιώνα νέοι αλγόριθμοι βασιζόμενοι σε [[Σειρά|άπειρες σειρές]] υπολογίζουν τον αριθμό π με μεγαλύτερη ακρίβεια και χρησιμοποιούνται από μαθηματικούς όπως ο [[Madhava of Sangamagrama|Madhava της Sangamagrama]], ο [[Ισαάκ Νεύτων|Ισαάκ Νιούτον]], ο [[Λέοναρντ Όιλερ]], ο [[Καρλ Φρίντριχ Γκάους]], και ο [[Σρινιβάσα Ραμανούτζαν]].
 
Τον 20ο και 21ο αιώνα, μαθηματικοί και [[Πληροφορική|πληροφορικοί]] ανακάλυψαν νέες προσεγγίσεις που, όταν συνδυάζονται με την αυξημένη υπολογιστική ισχύ, επεκτείνουν τη δεκαδική απεικόνιση του π πάνω από 10 τρισεκατομμύρια (10<sup>13</sup>) ψηφία (2011). Οι επιστημονικές εφαρμογές δεν απαιτούν γενικά περισσότερα από 40 ψηφία του π· έτσι το πρωταρχικό κίνητρο για αυτούς τους υπολογισμούς είναι η ανθρώπινη επιθυμία να σπάει ρεκόρ. Οι πολύπλοκοι υπολογισμοί που εμπλέκονται στον υπολογισμό των ψηφίων του π, έχουν χρησιμοποιηθεί για τη δοκιμή [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]] και σε [[αλγόριθμος|αλγόριθμους]] πολλαπλασιασμού υψηλής ακρίβειας.
 
Το π βρίσκεται σε πολλούς τύπους της [[Τριγωνομετρία|Τριγωνομετρίας]] και της [[Γεωμετρία|Γεωμετρίας]], ειδικά όσον αφορά κύκλους, ελλείψεις ή σφαίρες. Βρίσκεται επίσης και σε διάφορους τύπους από άλλους κλάδους της επιστήμης, όπως η [[Κοσμολογία]], η [[Θεωρία αριθμών|Θεωρία Αριθμών]], η [[Στατιστική]], τα [[fractal]], η [[Θερμοδυναμική]], η [[Μηχανική]], και ο [[Ηλεκτρομαγνητισμός]]. Ο καθολικός χαρακτήρας του π τον καθιστά μια από τις πιο ευρέως γνωστές μαθηματικές σταθερές, τόσο εντός όσο και εκτός της επιστημονικής κοινότητας και έχει αποτελέσει θέμα λογοτεχνικών βιβλίων. Ο αριθμός γιορτάζεται την [[Ημέρα π|π ημέρα]] και ρεκόρ υπολογισμού των ψηφίων του π συχνά αναφέρονται σε τίτλους ειδήσεων. Αρκετοί άνθρωποι προσπάθησαν να απομνημονεύσουν την τιμή του π με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια, οδηγώντας σε ρεκορ απομνημόνευσης πανώ από 67.000 ψηφία.
 
{{TOClimit|limit=3}}
 
==Βασικές αρχές==
===Ορισμός===
[[File:Pi eq C over d.svg|alt=Ένα διάγραμμα ενός κύκλου, με το πλάτος του που είναι χαρακτηρισμένο ως η διάμετρος, και την περίμετρο χαρακτηρισμένη ως περιφέρεια|thumb|right|Η περιφέρεια του κύκλου είναι ελαφρώς περισσότερη από τρεις φορές όσο η διάμετρός του. Η ακριβής αναλογία ονομάζεται π.]]
Ως π συχνά ορίζεται το [[πηλίκο]] της [[Περιφέρεια (γεωμετρία)|περιφέρειας]] <math>C</math> ενός [[κύκλος|κύκλου]] προς την [[διάμετρος|διάμετρό]] του <math>d</math>:<ref name="Arndt">Arndt Haenel, 2006, p.8</ref>
:<math> \pi = \frac{C}{d}</math>
Ο λόγος <math>\frac{C}{d} </math> είναι σταθερός και ανεξάρτητος από το μέγεθος του κύκλου. Για παράδειγμα, αν ένας κύκλος έχει διπλάσια διάμετρο, αυτός θα έχει και διπλάσια περιφέρεια, διατηρώντας το λόγο <math>\frac{C}{d} </math> σταθερό. Αυτός ο ορισμός του π είναι έγκυρος μόνο σε επίπεδη [[Ευκλείδεια Γεωμετρία|(Ευκλείδεια) Γεωμετρία]], ενώ αν επεκταθεί σε [[Ευκλείδεια γεωμετρία|κυρτές (Μη-Ευκλείδειες) Γεωμετρίες]] ο λόγος δεν παραμένει σταθερός.<ref name="Arndt" /> Υπάρχουν άλλοι ορισμοί του π με βάση τον [[Λογισμός|Λογισμό]] ή την [[Τριγωνομετρία]] που δεν βασίζονται σε κύκλο. Ένας τέτοιος ορισμός είναι: Το π είναι το διπλάσιο του μικρότερο θετικού <math>x</math> για [[Συνημίτονο|συν(x)]] ισούται με 0.<ref name="Arndt" /><ref>{{cite book|last=Rudin|first=Walter|title=Principles of Mathematical Analysis|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|ref=harv}}, p 183.</ref>
 
===Όνομα===
[[File:Leonhard Euler.jpg|thumb|upright|Ο [[Λέοναρντ Όιλερ]] διέδωσε τη χρήση του ελληνικού γράμματος π στα έργα που δημοσίευσε το 1736 και 1748]]
Το σύμβολο που χρησιμοποιείται από τους μαθηματικούς για την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς την διάμετρό του είναι το [[Ελληνική γλώσσα|ελληνικό γράμμα]] π. Αυτό το γράμμα (και ως εκ τούτου ο ίδιος ο αριθμός π ) μπορεί να σημανθεί με τη Λατινική λέξη ''pi''.<ref>{{cite document|last=Holton|first=David|last2=Mackridge|first2=Peter|title=Greek: an Essential Grammar of the Modern Language|publisher=Routledge|year=2004 |isbn=0-415-23210-4|ref=harv}}, p. xi.</ref> Στα αγγλικά, το π [[αγγλική προφορά του ελληνικού γράμματος|προφέρεται όπως η "πίτα"]] Το πεζό π δεν πρέπει να συγχέεται με το κεφαλαίο γράμμα Π, που χαρακτηρίζει το [[Ακολουθία|γινόμενο όρων μιας ακολουθίας]].
 
Η πρώτη γνωστή χρήση του ελληνικού γράμματος π για να αντιπροσωπεύσει την αναλογία της περιφέρειας ενός κύκλου προς τη διάμετρό του ήταν από τον μαθηματικό [[William Jones (mathematician)|William Jones]] στο έργο του, το 1706, ''Σύνοψη Palmariorum Matheseos· ή, Μια Νέα Εισαγωγή στα Μαθηματικά''.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=165}}. A facsimile of Jones' text is in {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=108–109}}</ref> Το ελληνικό γράμμα πρωτοεμφανίζεται εκεί στη φράση "<math>\frac{1}{2}</math> περιφέρεια (π)" στη συζήτηση ενός κύκλου με ακτίνα ένα. Ο Jones μπορεί να επέλεξε το π επειδή ήταν το πρώτο γράμμα στην ελληνική ορθογραφία της λέξης ''περιφέρεια''.<ref>See {{harvnb|Schepler|1950|p=220}}: [[William Oughtred]] used the letter π to represent the periphery (i.e., circumference) of a circle.</ref> Ωστόσο, γράφει ότι οι εξισώσεις του π είναι από την "έτοιμη πένα του πραγματικά έξυπνου κ. John Machin", οδηγώντας σε εικασίες ότι ο [[John Machin|Machin]] μπορεί να ασχολήθηκε με το ελληνικό γράμμα πριν τον Jones.<ref name="Arndt_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=166}}</ref> Αυτό πράγματι είχε χρησιμοποιηθεί νωρίτερα για τις γεωμετρικές ερμηνείες.<ref name="Arndt_a" /> Ο [[William Oughtred]] χρησιμοποιεί τα ελληνικά γράμματα π και δ, για να εκφράσει αναλογίες της περιφέρειας και της διαμέτρου το 1647. Το ίδιο συμβαίνει και σε μεταγενέστερες εκδόσεις του ''Clavis Mathematicae''.
 
Μετά την εισαγωγή του ελληνικού γράμματος από τον Jones το 1706, δεν υιοθετήθηκε από άλλους μαθηματικούς μέχρι ο [[Leonhard Euler]] άρχισει να το χρησιμοποιεί, αρχίζοντας με το έργο του "Μηχανική" το 1736. Πριν από τότε, οι μαθηματικοι χρησιμοποιούσαν μερικές φορές γράμματα όπως το ''c'' ή το ''p''.<ref name="Arndt_a" /> Ο Euler συνεβρισκόταν σε μεγάλο βαθμό με άλλους μαθηματικούς στην Ευρώπη και έτσι η χρήση του π εξαπλώθηκε γρήγορα.<ref name="Arndt_a" /> Το 1748, ο Euler χρησιμοποίησε το π στο ευρέως διαβασμένο έργο του ''[[Introductio in analysin infinitorum]]'' (έγραψε: "για λόγους συντομίας θα γράφουμε τον αριθμό π· έτσι ο π είναι ίση με το μισό της περιφέρειας ενός κύκλου ακτίνας 1") και η πρακτική του εγκρίθηκε παγκοσμίως στη συνέχεια στον [[Δυτικός κόσμος|Δυτικό Κόσμο]].<ref name="Arndt_a" />
 
===Ιδιότητες===
Το π είναι ένας [[άρρητος αριθμός]], που σημαίνει ότι αυτός δεν μπορεί να γραφεί ως πηλίκο δύο ακεραίων, όπως <math>\frac{22}{7}</math> ή άλλα κλάσματα που χρησιμοποιούνται συνήθως για την προσέγγισή του.<ref name="Arndt_i">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=5}}</ref> Δεδομένου ότι το π είναι άρρητος, έχει έναν άπειρο αριθμό ψηφίων σε [[δεκαδική αναπαράσταση]], και αυτό δεν τελειώνει με μια απείρως [[σειρά|επαναλαμβανόμενη σειρά]] ψηφίων. Υπάρχουν αρκετές [[αποδείξεις ότι π είναι άρρητος|αποδείξεις ότι το π είναι άρρητος]] οι οποίες γενικά απαιτούν λογισμό και επικαλούνται την [[Εις άτοπον απαγωγή|εις άτοπον]] απαγωγή. Ο βαθμός στον οποίο μπορεί το π να είναι προσεγγιστικά [[ρητός αριθμός]] (που ονομάζεται το [[Άρρητος αριθμός|μέτρο της αρρητότητας]]) δεν είναι ακριβώς γνωστό· εκτιμήσεις καθόρισαν ότι το μέτρο της αρρητότητας είναι μεγαλύτερο από το μέτρο του <math>e</math> ή ln(2), αλλά μικρότερο από το μέτρο των αριθμών του [[Liouville]].<ref>{{cite journal|last1=Salikhov|first1=V.|year=2008|title=On the Irrationality Measure of pi|journal=Russian Mathematical Survey|volume=53|issue=3|page=570|ref=harv|doi=10.1070/RM2008v063n03ABEH004543|bibcode = 2008RuMaS..63..570S }}</ref>
[[File:Squaring the circle.svg|thumb|alt=A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi|Επειδή ο π είναι [[υπερβατικός αριθμός]],ο [[Τετραγωνισμός]] του [[κύκλος|κύκλου]] δεν είναι δυνατός σε ένα πεπερασμένο πλήθος βημάτων χρησιμοποιώντας τα κλασικά εργαλεία του [[Κανόνας (μαθηματικά)|κανόνα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]].]]
 
Ο π είναι ένας [[Αλγεβρικός αριθμός|υπερβατικός αριθμός]], πράγμα που σημαίνει πως δεν είναι λύση κάποιου μη-σταθερού [[Πολυώνυμο|πολυωνύμου]] με [[Ρητός αριθμός|ρητούς συντελεστές]], όπως <math>\scriptstyle \frac{x^5}{120}\,-\,\frac{x^3}{6}\,+\,x\,=\,0.</math><ref name="ttop">{{cite web|first=Steve|last=Mayer|url=http://dialspace.dial.pipex.com/town/way/po28/maths/docs/pi.html|title=The Transcendence of π|accessdate=4 November 2007}}</ref><ref>The polynomial shown is the first few terms of the [[Taylor series]] expansion of the [[sine]] function.</ref>Η υπέρβαση του π έχει δύο σημαντικές επιπτώσεις: Πρώτον, ο π δεν μπορεί να εκφραστεί χρησιμοποιώντας οποιονδήποτε συνδυασμό ρητών και τετραγωνικών αριθμών ή [[ρίζα (μαθηματικά)|''ν''-ιοστων ριζών]] όπως <math>\scriptstyle \sqrt[3]{31}</math> ή <math>\scriptstyle \sqrt[2]{10}.</math> Δεύτερον, δεδομένου ότι δεν μπορεί να κατασκευαστεί κάποιος [[υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]] με [[Κανόνας (μαθηματικά)|κανόνα]] και [[Διαβήτης (όργανο)|διαβήτη]], δεν είναι δυνατόν να "[[Τετραγωνισμός του κύκλου|τετραγωνιστεί ο κύκλος]]". Με άλλα λόγια, είναι αδύνατο να κατασκευάσουμε, χρησιμοποιώντας μόνο κανόνα και διαβήτη, ένα τετράγωνο του οποίου η περιοχή είναι ίση προς την έκταση ενός δεδομένου κύκλου.<ref>{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|p=25}}</ref> Ο τετραγωνισμός του κύκλου ήταν ένα από τα σημαντικότερα γεωμετρικά προβλήματα της [[Κλασική αρχαιότητα|κλασικής αρχαιότητας]].<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=129}}</ref> Ερασιτέχνες μαθηματικοί στη σύγχρονη εποχή μερικές φορές προσπάθησαν να τετραγωνίσουν τον κύκλο, και μερικές φορές ισχυρίζονταν επιτυχία, παρά το γεγονός ότι είναι αδύνατο.<ref>{{harvnb|Beckmann|1989|p=37}}<br />{{cite book|last=Schlager|first=Neil|last2=Lauer|first2=Josh|title=Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery|publisher=Gale Group|year=2001|isbn=0-7876-3933-8|ref=harv}}, p 185.</ref>
 
Τα ψηφία του π δεν έχουν κάποιο προφανές πρότυπο και δεν έχουν περάσει εξετάσεις για [[Πιθανότητες|στατιστική τυχαιότητα]] περιλαμβανομένων δοκιμών για [[Ομαλοί αριθμοί|ομαλότητα]]· ένας αριθμός απείρου μήκους ονομάζεται κανονικός όταν όλες οι πιθανές ακολουθίες των ψηφίων (από κάθε συγκεκριμένο μήκος) εμφανίζονται εξίσου συχνά.<ref name="random" /> Αυτή η υπόθεση ότι το π είναι κανονικός δεν έχει αποδειχθεί ή διαψευσθεί .<ref name="random">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22–23}}<br />{{cite news|url=http://www.lbl.gov/Science-Articles/Archive/pi-random.html|title=Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key|first=Paul|last=Preuss|authorlink=Paul Preuss|publisher=[[Lawrence Berkeley National Laboratory]]|date=23 July 2001|accessdate=10 November 2007}}</ref> Μετά την έλευση των υπολογιστών, ένα μεγάλος αριθμός ψηφίων του π ήταν διαθέσιμος για να εκτελέσουμε στατιστικές αναλύσεις. Ο [[Yasumasa Kanada]] έχει εκτελέσει λεπτομερειακώς στατιστικές αναλύσεις για τα δεκαδικά ψηφία του π· για παράδειγμα, η συχνότητα των δέκα ψηφίων 0 έως 9 υποβλήθηκαν σε [[Στατιστική|στατιστική σημασία δοκιμές]], και δεν βρέθηκε κάποια απόδειξη για ένα μοτίβο.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=22, 28–30}}</ref> Παρά το γεγονός ότι τα ψηφία του π πέρασαν από στατιστικούς ελέγχους για την τυχαιότητα, ο π περιέχει ορισμένες ακολουθίες ψηφίων που ενδέχεται να εμφανιστούν μη-τυχαία στους μη-μαθηματικούς, όπως το [[σημείο Feynman]], που ξεκινά από το 762ο δεκαδικό ψηφίο της δεκαδικής απεικόνισης του π.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=3}}</ref>
 
===Συνεχόμενα Κλάσματα===
[[File:Matheon2.jpg|thumb|alt=Μια φωτογραφία του ελληνικού γράμματος π, δημιουργήθηκε ως ένα μεγάλο πέτρινο μωσαϊκό τοποθετημένο στο έδαφος.|Η σταθερά π αντιπροσωπεύεται σε αυτό το [[μωσαϊκό]] έξω από το μαθηματικό κτίριο στο ''[[Πανεπιστήμιο Βερολίνου|Technische Universität Berlin]]''.]]
Όπως όλους τους άρρητους αριθμούς, ο π δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως απλό κλάσμα. Αλλά κάθε άρρητος αριθμός, συμπεριλαμβανομένου του π, μπορεί να εκπροσωπηθεί από μια άπειρη σειρά ένθετων κλασμάτων, που ονομάζεται [[συνεχόμενο κλάσμα]]:
 
:<math>
\pi=3+\textstyle \frac{1}{7+\textstyle \frac{1}{15+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{292+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\textstyle \frac{1}{1+\ddots}}}}}}}</math>
{{OEIS2C|id=A001203}}
 
Η περικοπή του συνεχόμενου κλάσματος σε οποιοδήποτε σημείο δημιουργεί ένα κλάσμα, που παρέχει μια προσέγγιση για την π· δύο τέτοια κλάσματα (<math>\frac{22}{7}</math> και <math>\frac{355}{113}</math>) έχουν χρησιμοποιηθεί ιστορικά για την προσέγγιση της σταθεράς. Κάθε προσέγγιση με αυτό τον τρόπο είναι πιο ορθολογική προσέγγιση·δηλαδή, κάθε μια είναι πιο κοντά στην π από οποιοδήποτε άλλο κλάσμα με το ίδιο ή με ένα μικρότερο παρονομαστή.<ref name="Eymard 1999 78">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=78}}</ref> Αν και το απλό το συνεχιζόμενο κλάσμα για π (φαίνεται παραπάνω) δεν εμφανίζουν ένα μοτίβο,<ref name="ReferenceA">
{{SloanesRef|sequencenumber=A001203|name=Continued fraction for Pi}} Retrieved 12 April 2012.</ref> οι μαθηματικοί έχουν ανακαλύψει αρκετές [[γενικεύσεις συνεχιζόμενων κλασμάτων]] που κάνουν , όπως:<ref>{{cite journal|title=An Elegant Continued Fraction for π|first=L. J.|last=Lange|journal=[[The American Mathematical Monthly]]|volume=106|issue=5|month=May|year=1999|pages=456–458|jstor=2589152|doi=10.2307/2589152|ref=harv}}</ref>
:<math>\pi=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{2+\textstyle \frac{3^2}{2+\textstyle \frac{5^2}{2+\textstyle \frac{7^2}{2+\textstyle \frac{9^2}{2+\ddots}}}}}}
=3+\textstyle \frac{1^2}{6+\textstyle \frac{3^2}{6+\textstyle \frac{5^2}{6+\textstyle \frac{7^2}{6+\textstyle \frac{9^2}{6+\ddots}}}}}
=\textstyle \cfrac{4}{1+\textstyle \frac{1^2}{3+\textstyle \frac{2^2}{5+\textstyle \frac{3^2}{7+\textstyle \frac{4^2}{9+\ddots}}}}}</math>
 
===Κατά προσέγγιση αξία===
Περιλαμβάνει ορισμένες προσεγγίσεις του π:
* '''Κλάσματα''': Κατά προσέγγιση κλάσματα πειλαμβανομένου (κατά προσέγγιση αυξανόμενης ακρίβειας) <math>\frac{22}{7}</math>, <math>\frac{333}{106}</math>, <math>\frac{355}{113}</math>, <math>\frac{52163}{16604}</math>, και <math>\frac{103993}{33102}</math>.<ref name="Eymard 1999 78" />
* '''[[Δεκαδικό σύστημα αρίθμησης|Δεκαδικό]]''': τα πρώτα 100 δεκαδικά ψηφία είναι 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 ....<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=240}}</ref> {{OEIS2C|id=A000796}}
* '''[[Δυαδικό σύστημα|Δυαδικό]]''': <math>11.0010,0100,0011,1111,0110,1010,1000,1000,1000,0101,1010,0011, ....</math>
* '''[[Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης|Δεκαεξαδικό]]''': Μια βάση προσέγγισης από 16 έως 20 ψηφία είναι <math>3.243F,6A88,85A3,08D3,1319 ....</math><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=242}}</ref>
* '''[[Εξηκονταδικό σύστημα αρίθμησης|Εξηκονταδικό]]''': Μια βάση 60 προσέγγιση είναι 3:8:29:44:1
 
==Ιστορία του π==
===Αρχαιότητα===
Η [[Πυραμίδες της Γκίζας|Μεγάλη Πυραμίδα]] στην Γκίζα, κατασκευασμένη το 2589–2566 π.Χ., χτίστηκε με περίμετρο περίπου 1760 [[Πήχυς|πήχεις]] και ύψος περίπου 280 πήχεις· η αναλογία <math>\frac{1760}{280}\approx 6.2857</math> είναι περίπου ίση με <math>2\pi \approx 6.2832</math>. Με βάση αυτή την αναλογία, κάποιοι [[Αιγυπτιολογία|Αιγυπτιολόγοι]] κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας είχαν γνώση του π και σκόπιμα σχεδίασαν την πυραμίδα για να ενσωματώσουν τις αναλογίες του κύκλου.<ref>"We can conclude that although the ancient Egyptians could not precisely define the value of π, in practice they used it". {{cite document|last=Verner|first=M.|title=The Pyramids: Their Archaeology and History|year=2003|ref=harv}}, p. 70.<br />{{cite document|last=Petrie|first=|title=Wisdom of the Egyptians|year=1940|ref=harv}}, p. 30.<br />See also {{cite journal|last=Legon|first=J. A. R.|title=On Pyramid Dimensions and Proportions|year=1991|journal=Discussions in Egyptology|volume=20|issue=|pages=25–34|url=http://www.legon.demon.co.uk/pyrprop/propde.htm|ref=harv}}.<br />See also {{cite journal|last=Petrie|first=W. M. F.|year=1925|title=Surveys of the Great Pyramids|journal=Nature Journal|volume= 116|issue= 2930|pages=942–942|ref=harv|doi=10.1038/116942a0|bibcode = 1925Natur.116..942P }}</ref> Άλλοι ισχυρίζονται πως η προτεινόμενη πρόταση του π είναι απλώς μια σύμπτωση, επειδή δεν υπάρχει κάποια απόδειξη ότι οι οικοδόμοι της πυραμίδας γνώριζαν το π, και επειδή οι διαστάσεις της πυραμίδας βασίζονται σε άλλους παράγοντες.<ref>Egyptologist: Rossi, Corinna, ''Architecture and Mathematics in Ancient Egypt'', Cambridge University Press, 2004, pp 60–70, 200, ISBN 9780521829540.<br>
Skeptics: [[Michael Shermer|Shermer, Michael]], ''The Skeptic Encyclopedia of Pseudoscience'', ABC-CLIO, 2002, pp 407–408, ISBN 9781576076538.<br>
See also Fagan, Garrett G., ''Archaeological Fantasies: How Pseudoarchaeology Misrepresents The Past and Misleads the Public'', Routledge, 2006, ISBN 9780415305938.<br>
For a list of explanations for the shape that do not involve π, see {{Cite book|url=http://books.google.co.uk/books?id=066T3YLuhA0C&pg=67,|title=The Shape of the Great Pyramid|publisher=Wilfrid Laurier University Press|year=2000|isbn=9780889203242|pages=67–77, 165–166|author=Roger Herz-Fischler|ref=harv}}</ref>
 
Οι παλαιότερες γραπτές προσεγγίσεις του π βρίσκονται στην Αίγυπτο και τη [[Βαβυλώνα]], απέχουν ένα τοις εκατό από την πραγματική αξία. Στη Βαβυλώνα, ένας [[Δίσκος (γεωμετρία)|δίσκος]] της χρονολογείται το 1900–1600&nbsp;π.Χ. έχει μια γεωμετρική δήλωση που, κατ'επέκταση, αντιμετωπίζει τον π ως 25/8&nbsp;=&nbsp;3.1250.<ref name="Arndt_d">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=167}}</ref> Στην Αίγυπτο, ο [[Πάπυρος|Πάπυρος Rhind ]], χρονολογείται γύρω στο 1650&nbsp;π.Χ., αλλά έχει αντιγραφεί από ένα έγγραφο που χρονολογείται το 1850&nbsp;π.Χ. έχει ένα τύπο που την αντιμετωπίζει την σταθερά π ως (16/9)<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3.1605.<ref name="Arndt_d" />
 
Στην Ινδία γύρω στο 600&nbsp;π.Χ., το [[Shulba Sutras]] ([[σανσκριτικά]] κείμενα που είναι πλούσια σε μαθηματικό περιεχόμενο) εξομοιώνει τον π με (9785/5568)<sup>2</sup>&nbsp;≈&nbsp;3.088.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=168–169}}</ref> Το 150&nbsp;π.Χ., ή ίσως νωρίτερα, ινδικές πηγές θεωρούν τον π ως <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math>&nbsp;≈&nbsp;3.1622.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}</ref>
 
Δύο στίχοι της [[Εβραϊκή Βίβλος|Εβραϊκής Βίβλου]] (γράφτηκε περίπου στον 8ο και 3ο αιώνα π.Χ.) περιγράφει μια τελετουργική λεκάνη στο [[Ναός του Σολομώντα|Ναό του Σολομώντα]] με διάμετρο δέκα [[Πήχυς|πήχεις]] και η περίμετρός του τριάκοντα πήχεις· Οι στίχοι υποδηλώνουν ότι ο π είναι περίπου τρία αν η λεκάνη είναι κυκλική.<ref>The verses are {{bibleverse|1|Kings|7:23|NKJV}} and {{bibleverse|2|Chronicles|4:2|NKJV}}; see {{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=169}}, {{harvnb|Schepler|1950|p=165}}, and {{harvnb|Beckmann|1989|pp=14–16}}.</ref><ref>Suggestions that the pool had a hexagonal shape or an outward curving rim have been offered to explain the disparity. See {{cite book|last=Borwein|first=Jonathan M.|last2=Bailey|first2=David H.|title=Mathematics by Experiment: Plausible Reasoning in the 21st century|edition=revised 2nd|publisher=A. K. Peters|year=2008|isbn=978-1-56881-442-1|ref=harv}}, pp. 103, 136, 137.</ref> Ο [[Rabbi Nehemiah]] εξήγησε τη διαφορά ως λόγω του πάχους του σκάφους. Το πρώιμο έργο της γεωμετρίας, ''[[Mishnat ha-Middot]]'', γράφτηκε γύρω στο 150 μ.Χ. και παίρνει την τιμή του π για να είναι τρία και ένα έβδομο.<ref>{{Cite book|pages=9–10|title=The Scientific & the Divine|author=James A. Arieti, Patrick A. Wilson|publisher=Rowman & Littlefield|year=2003|isbn=9780742513976|url=http://books.google.co.uk/books?id=q2MHZTL_s64C&pg=PA9|ref=harv}}</ref>
 
====Μνημονικός κανόνας====
 
{{quote|Αεί (ο) Θεός (ο μέγας) γεωμετρεί|Πλάτων}}
 
Ο [[Πλούταρχος]] αναφέρει στο έργο του ''Ερωτήσεις'' "Πῶς Πλάτων ἔλεγε τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν."<ref>[http://www.perseus.tufts.edu/hopper/text?doc=Perseus:text:2008.01.0311:book=8:chapter=2 Plutarch, Quaestiones Convivales, βοοκ 8, Πῶς Πλάτων ἔλεγε τὸν θεὸν ἀεὶ γεωμετρεῖν<!-- Bot generated title -->]</ref> Από αυτή τη φράση προκύπτει ο [[μνημονικός κανόνας]] "''Αεί ο Θεός ο μέγας γεωμετρεί''" όπου ο αριθμός των γραμμάτων δείχνει το αντίστοιχο ψηφίο του αριθμού π, με προσέγγιση 5 δεκαδικών ψηφίων (3,14159).
* Αεί = 3
* ο = 1
* Θεός = 4
* ο =1
* μέγας = 5
* γεωμετρεί = 9
 
Σε νεότερους χρόνους, έχει χρησιμοποιηθεί μεγαλύτερη πρόταση για περισσότερα ψηφία "''Αεί ο Θεός ο Μέγας γεωμετρεί, το κύκλου μήκος ίνα ορίση διαμέτρω, παρήγαγεν αριθμόν απέραντον, καί όν, φεύ, ουδέποτε όλον θνητοί θα εύρωσι''".
 
===Εποχή πολύγωνου προσέγγισης===
[[File:Archimedes pi.svg|350px|right|thumb|alt=diagram of a hexagon and pentagon circumscribed outside a circle|το π μπορεί να υπολογιστεί με τον υπολογισμό της περιμέτρου του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου πολυγώνου.]]
Ο πρώτος καταγεγραμμένος αλγόριθμος για τον αυστηρό υπολογισμό της αξίας του π ήταν μια γεωμετρική προσέγγιση χρησιμοποιώντας πολύγωνα, επεξεργάσθηκε γύρω στο 250&nbsp;π.Χ. ο έλληνας μαθηματικός [[Αρχιμήδης]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=170}}</ref> Αυτός ο πολυγωνικός αλγόριθμος κυριαρχείται για πάνω από 1,000 χρόνια, και ως εκ τούτου το π μερικές φορές αναφέρεται ως "Σταθερά του Αρχιμήδη".<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=175, 205}}</ref> Ο Αρχιμήδης υπολόγισε τα ανώτερα και κατώτερα όρια του π με σχέδιο σε κανονικό εξάγωνο μέσα και έξω από ένα κύκλο και διαδοχικά διπλασιασμού του αριθμού των πλευρών,ώσπου έφτασε στην 96-όψη κανονικού πολυγώνου. Με τον υπολογισμό των μέτρων αυτών των πολυγώνων, απέδειξε ότι <math>\frac{223}{71}</math>&nbsp;<&nbsp;π&nbsp;<&nbsp;<math>\frac{22}{7}</math> (3.1408&nbsp;<&nbsp;π&nbsp;<&nbsp;3.1429).<ref>{{cite web|url=http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/29504-the-computation-of-pi-by-archimedes/content/html/ComputationOfPiByArchimedes.html#37 |title=The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central |publisher=Mathworks.com |date= |accessdate=2013-03-12}}</ref> Το άνω όριο του Αρχιμήδη, το <math>\frac{22}{7}</math> μπορεί να οδήγησε σε μια ευρέως διαδεδομένη δημοφιλή πεποίθηση ότι το π είναι ίσο με <math>\frac{22}{7}</math>.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=171}}</ref> Περίπου το 150 μ.Χ., ο έλληνας-ρωμαίος επιστήμονας [[Κλαύδιος Πτολεμαίος|Πτολεμαίος]], στην [[Αλμαγέστη]], έδωσε μια τιμή για το π το 3.1416, που αυτή μπορεί να αποκτηθεί από τον [[Απολλώνιος ο Περγαίος|Απολλώνιο του Περγαίου]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=176}}<br />{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=168}}<!--may be suspect--></ref> Οι μαθηματικές χρήσεις των πολυγωνικών αλγορίθμων φτάνουν τα 39 ψηφία του π το 1630, ένα ρεκορ που έσπασε μόνο το 1699 όταν άπειρες σειρές χρησιμοποιήθηκαν για την επίτευξη 71 ψηφίων.<ref name="ArPI">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–16, 175, 184–186, 205}}. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.</ref>
[[File:Domenico-Fetti Archimedes 1620.jpg|thumb|upright|alt=A painting of a man studying|Ο [[Αρχιμήδης]] μια πολυγωνική προσέγγιση για την προσέγγιση του π.]]
Στην Αρχαία Κίνα, οι τιμές για το π περιλαμβάνονται 3.1547 (γύρω στο 1 μ.Χ.), <math>\scriptstyle \sqrt{10}</math> (100 μ.Χ, περίπου 3.1623), και <math>\frac{142}{45}</math> (3ο αιώνα, περίπου 3.1556).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=176–177}}</ref> Περίπου το 265 μ.Χ., στο [[Δυτικό Βασίλειο]] ο μαθηματικός [[Liu Hui]] δημιούργησε ένα [[Πολύγωνο|πολύγωνο με βάση τον επαναληπτικό αλγόριθμο]] και το χρησιμοποίησε με ένα πολύγωνο 3,072-διπλής όψης, για να πάρει μια τιμή του π την&nbsp;3.1416.<ref name="autogenerated202">{{harvnb|Boyer|Merzbach|1991|p=202}}</ref><ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=177}}</ref>Αργότερα ο Liu ανακάλυψε μια ταχύτερη μέθοδο υπολογισμού του π και λαμβάνεται η τιμή 3.14 με ένα πολύγωνο 96-διπλής όψης, αξιοποιώντας το γεγονός ότι οι διάφορες τιμές στην περιοχή των διαδοχικών πολυγώνων αποτελούν μια γεωμετρική σειρά με συντελεστή &nbsp;4.<ref name="autogenerated202" /> Ο Κινέζος μαθηματικός [[Zu Chongzhi]], γύρω στο 480 μ.Χ., υπολόγισε ότι π&nbsp;≈&nbsp;355/113 (ένα κλάσμα που πηγαίνει από το όνομα [[Milü]] στα Κινέζικα), χρησιμοποιώντας τον [[αλγόριθμος|αλγόριθμο του Liu Hui]] εφαρμόζεται σε ένα πολύγωνο 12,288-πλευρών. Με μια σωστή τιμή για τα επτά πρώτα δεκαδικά ψηφία,αυτή η τιμή 3.141592920... παραμένει η πιο ακριβής προσέγγιση του π διαθέσιμη για τα επόμενα 800 χρόνια.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=178}}</ref>
 
Ο Ινδός αστρονόμος [[Aryabhata]] χρησιμοποίησε την τιμή 3.1416 σε [[Āryabhaṭīya]] (499 μ.Χ.).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=179}}</ref> Ο [[Φιμπονάτσι|Fibonacci]] το &nbsp;1220 υπολόγισε 3.1418 χρησιμοποιώντας μια πολυγωνική μέθοδο, ανεξάρτητη του Αρχιμήδη.<ref name="Arndt_e">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=180}}</ref> Ο Ιταλός συγγραφέας [[Dante]] ασχολήθηκε όπως φαίνεται με την αξία <math>3+\frac{\sqrt{2}}{10}\approx 3.14142</math>.<ref name="Arndt_e" />
 
Ο Πέρσης αστρονόμος [[Jamshīd al-Kāshī]] παρήγαγε 16 ψηφία το 1424 χρησιμοποιώντας ένα πολύγωνο με 3×2<sup>28</sup> πλευρές,<ref>{{cite journal| first1=Mohammad K. | last1=Azarian | title=al-Risāla al-muhītīyya: A Summary | journal=Missouri Journal of Mathematical Sciences | volume=22 | issue=2 | year=2010 | pages=64–85 | url=<!-- http://www.xs4all.nl/~nirmala/Azarian2.pdf -->[http://nirmala.home.xs4all.nl/Azarian2.pdf]{{dead link|date=June 2015}} | format=PDF | separator=,| ref=harv}}</ref><ref>{{cite web|author=O’Connor, John J.; Robertson, Edmund F. | year=1999 | title=Ghiyath al-Din Jamshid Mas'ud al-Kashi | work=[[MacTutor History of Mathematics archive]] | url=http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/Biographies/Al-Kashi.html | accessdate=August 11, 2012 | separator=,}}</ref> το οποίο αντιπροσωπεύει για 180 περίπου χρόνια παγκόσμιο ρεκορ.<ref name="Arndt_f">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=182}}</ref> Ο Γάλλος μαθηματικός [[François Viète]] το 1579 κατόρθωσε(να παράγει) 9 ψηφία με ένα πολύγωνο με 3×2<sup>17</sup> πλευρές.<ref name="Arndt_f" /> Ο Φλαμανδός μαθηματικός [[Adriaan van Roomen]] έφτασε στα 15 δεκαδικά ψηφία το 1593.<ref name="Arndt_f" /> Το 1596, ο Ολλανδός μαθηματικός [[Ludolph van Ceulen]] έφτασε τα 20 ψηφία, ένα ρεκορ που αργότερα αυξήθηκε στα 35 ψηφία (ως εκ τούτου, το π ονομαζόταν "αριθμός Ludolphian" στη Γερμανία μέχρι τις αρχές του 20ου αιώνα).<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=182–183}}</ref> Ο Ολλανδός μαθηματικός [[Willebrord Snellius]] έφτασε τα 34 ψηφία το 1621,<ref name="Arndt_g">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=183}}</ref> και ο Αυστριακός μαθηματικός [[Christoph Grienberger]] έφτασε τα 38 ψηφία το 1630,<ref>{{cite book | first=Christophorus | last=Grienbergerus | authorlink=Christoph Grienberger| language=Latin | year=1630 | title={{lang|la|Elementa Trigonometrica|nocat=true}} | url=http://librarsi.comune.palermo.it/gesuiti2/06.04.01.pdf | format=PDF}} His evaluation was 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4196 < π < 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 4199.</ref> τα οποία παραμένουν η ακριβέστερη προσέγγιση με μη αυτόματο τρόπο να επιτευχθεί χρησιμοποιώντας τον πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref name="Arndt_g" />
 
=== Απειροσειρές ===
Η ανάπτυξη τεχνικών των [[σειρά|απειροσειρών]] έφεραν επανάσταση στον υπολογισμό του π, τον 16ο και 17ο αιώνα. Μια άπειρη σειρά είναι το άθροισμα των όρων της άπειρης ακολουθίας [[sequence (mathematics)|sequence]].<ref name="Ais">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–191}}</ref> Μια άπειρη σειρά επιτρέπει στους μαθηματικούς να υπολογίσουν το π με μεγαλύτερη ακρίβεια από τον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]] και άλλους που χρησιμοποίησαν μαθηματικές τεχνικές.<ref name="Ais" /> Αν και άπειρες σειρές εκμεταλλεύτηκαν για τον π κυρίως Ευρωπαίοι μαθηματικοί, όπως ο [[James Gregory (μαθηματικός)|James Gregory]] και [[Gottfried Wilhelm Leibniz]], η προσέγγιση πρώτα ανακαλύφθηκε στην [[Ινδία]] κάποια στιγμή μεταξύ 1400 και 1500 AD.<ref>{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=185–186}}</ref> Η πρώτη γραπτή περιγραφή μιας άπειρης σειράς που θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του π τέθηκε σε σανσκριτικό στίχο από τον Ινδό αστρονόμο [[Nilakantha Somayaji]] στο ''[[Tantrasamgraha]]'', γύρω στο 1500 μ.Χ.<ref name="Roypp">{{harvnb|Roy|1990|pp=101–102}}</ref> Οι σειρές παρουσιάζονται χωρίς απόδειξη, αλλά οι αποδείξεις παρουσιάζονται σε μεταγενέστερο ινδικό μυθιστόρημα, [[Yuktibhāṣā]], από το 1530μ.Χ. περίπου.Ο Nilakantha αποδίδει τη σειρά σε έναν προηγούμενο μαθηματικό Ινδό,τον [[Madhava της Sangamagrama]], που έζησε το &nbsp;1350&nbsp;– &nbsp;1425.<ref name="Roypp" /> Πολλές σειρές που περιγράφονται, συμπεριλαμβανομένων τη σειρά για το ημίτονο, εφαπτομένη, και συνημίτονο, που τώρα αναφέρονται ως [[σειρά|Madhava σειρά]] ή [[σειρά|Gregory–Leibniz σειρά]].<ref name="Roypp" /> Ο Madhava χρησιμοποίησε άπειρη σειρά για να εκτιμήσει τον π στα 11 δεκαδικά περίπου το 1400, αλλά αυτή την εγγραφή νίκησε γύρω στο 1430 ο Πέρσης μαθηματικός [[Jamshīd al-Kāshī]], χρησιμοποιώντας έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref>{{harvnb|Joseph|1991|p=264}}</ref>
[[File:GodfreyKneller-IsaacNewton-1689.jpg|thumb|upright|alt=A formal portrait of a man, with long hair|[[Isaac Newton]]
χρησιμοποίησε την [[σειρά|άπειρη σειρά]] για τον υπολογισμό του π στα 15 ψηφία, αργότερα έγραψε "Ντρέπομαι να σου πω πόσα στοιχεία έφερα με αυτούς τους υπολογισμούς".<ref name="Newton" />]]
Η πρώτη άπειρη ακολουθία που ανακάλυψαν στην Ευρώπη ήταν ένα [[Άπειρο|άπειρο προϊόν]] (και όχι τόσο ένα [[Άπειρο|άπειρο ποσό]], το οποίο χρησιμοποιείται πιο τυπικά στους υπολογισμούς του π) βρέθηκε από τον Γάλλο μαθηματικό [[François VièteFrançois Viète]] το 1593:<ref name="Arndt_h">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=187}}</ref>
 
: <math> \frac2\pi = \frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdots</math> {{OEIS2C|id=A060294}}
 
Tη δεύτερη άπειρη ακολουθία που βρέθηκε στην Ευρώπη, από τον [[John Wallis]] το 1655, ήταν επίσης ένα άπειρο προϊόν.<ref name="Arndt_h" /> Η ανακάλυψη του [[Λογισμός|λογισμού]], από τον Άγγλο επιστήμονα [[Isaac Newton]] και τον Γερμανό μαθηματικό [[Gottfried Wilhelm Leibniz]] το 1660, οδήγησε στην ανάπτυξη πολλών άπειρων σειρών για την προσέγγιση του π.Ο ίδιος ο Newton χρησιμοποιεί μια σειρά arcsin για τον υπολογισμό 15 ψηφίων του π το 1665 ή 1666, αργότερα έγραψε "Ντρέπομαι να σου πω πόσα στοιχεία έφερα με αυτούς τους υπολογισμούς, αφού καμία άλλη χρήση δεν έχουν αυτή την στιγμή."<ref name="Newton">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=188}}. Newton quoted by Arndt.</ref>
 
Στην Ευρώπη, ο τύπος του Madhava ανακαλύφθηκε από τον Σκοτσέζο μαθηματικό [[James Gregory (μαθηματικό)|James Gregory]] το 1671, και από τον Leibniz το 1674:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=188–189}}</ref><ref name="LS" />
 
: <math>
\arctan z = z - \frac {z^3} {3} +\frac {z^5} {5} -\frac {z^7} {7} +\cdots
</math>
 
Αυτός ο τύπος, σειρά του Gregory–Leibniz, ισούται με <math>\scriptstyle \pi/4</math> όταν αξιολογηθεί με <math>z=1</math>.<ref name="LS">{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|pp=53–54}}</ref> Το 1699, ο Άγγλος μαθηματικός [[Abraham Sharp]] χρησιμοποίησε τη σειρά Gregory–Leibniz για τον υπολογισμό του π σε 71 ψηφία, σπάζοντας το προηγούμενο ρεκορ των 39 ψηφίων, που ορίστηκε με έναν πολυγωνικό αλγόριθμο.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=189}}</ref> Η σειρά Gregory–Leibniz είναι απλή, αλλά [[συγκλίνουσες σειρές|συγκλίνει]] πολύ αργά (δηλαδή πλησιάζει την απάντηση σταδιακά), έτσι δεν χρησιμοποιείται στους υπολογισμούς της σύγχρονης π.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=156}}</ref>
 
Το 1706 ο [[John Machin]] χρησιμοποίησε τη σειρά Gregory–Leibniz για την παραγωγή ενός αλγορίθμου που συγκλίνει πολύ πιο γρήγορα:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–193}}</ref>
:<math> \frac{\pi}{4} = 4 \, \arctan \frac{1}{5} - \arctan \frac{1}{239}</math>
Ο Machin έφτασε τα 100 ψηφία του π με αυτό τον τύπο.<ref name="A72n4">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=72–74}}</ref> Άλλοι μαθηματικοί δημιούργησαν παραλλαγές, όπως το γέννημα του [[Machin|τύπου Machin]], που χρησιμοποιήθηκαν για να καθορίζουν πολλά διαδοχικά ρεκορ των ψηφίων του π.<ref name="A72n4" /> Ο τύπος Machin-παρέμεινε ως γέννημα η πιο γνωστή μέθοδος υπολογισμού του π στην εποχή της πληροφορικής, και χρησιμοποιήθηκαν για να ορίσουν τις εγγραφές για 250 χρόνια, με αποκορύφωμα μια των 620-ψηφίων προσέγγιση του 1946 από τον Daniel Ferguson&nbsp;– την καλύτερη προσέγγιση που επιτεύχθηκε χωρίς τη βοήθεια της υπολογιστικής διάταξης.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=192–196, 205}}</ref>
 
Αξιόλογο ρεκορ ορίστηκε από τον υπολογισμό θαύμα του [[Zacharias Dase]], ο οποίος το 1844 απασχολήθηκε με ένα τύπο γεννήματος Machin-όπως τύπο για τον υπολογισμό 200 δεκαδικών ψηφίων του π στο κεφάλι του ,μετά από εντολή του Γερμανού μαθηματικού [[Carl Friedrich Gauss]].<ref name="A194" /> Ο Βρετανός μαθηματικός [[William Shanks]] περίφημα πήρε 15 χρόνια για τον υπολογισμό π με 707 ψηφία, αλλά έκανε ένα λάθος στο 528ο ψηφίο του, καθιστώντας όλα τα επόμενα ψηφία λανθασμένα.<ref name="A194">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=194–196}}</ref>
 
===Αρρητότητα===
Κάποιες άπειρες σειρές για π [[σειρά|συγκλίνουν]] γρηγορότερα από άλλες. Με δεδομένη την επιλογή των δύο σειρών για το π, οι μαθηματικοί θα χρησιμοποιούν γενικά αυτό που συγκλίνει πιο γρήγορα επειδή η ταχύτητα σύγκλισης μειώνει την ποσότητα του υπολογισμού που απαιτούνται για τον υπολογισμό του π οποιαδήποτε δεδομένη ακρίβεια.<ref name="Aconverge">{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|title=Ramanujan and Pi|year=1988|journal=Scientific American|volume=256|issue=2|pages=112–117|ref=harv|bibcode=1988SciAm.258b.112B|doi=10.1038/scientificamerican0288-112}}<br />{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17, 70–72, 104, 156, 192–197, 201–202}}</ref> Μια απλή άπειρη σειρά για π είναι η [[σειρά|σειρά Gregory–Leibniz ]]:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=69–72}}</ref>
:<math> \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} - \cdots</math>
Καθώς οι επιμέρους όροι αυτής της άπειρης σειράς προστίθενται στο σύνολο, το σύμολο σταδιακά πλησιάζει στον π, και&nbsp;– με επαρκή αριθμό όρων&nbsp;– μπορεί να πλησιάσει περισσότερο στον π όπως επιθυμείται. Συγκλίνει αρκετά αργά, αν και&nbsp;– μετά από 500,000 όρους, παράγει μόνο πέντε σωστά δεκαδικά ψηφία του π.<ref>{{cite journal|last=Borwein|first=J. M.|last2=Borwein|first2=P. B.|last3=Dilcher|first3=K.|year=1989|title=Pi, Euler Numbers, and Asymptotic Expansions|journal=American Mathematical Monthly|volume=96|issue=8|pages=681–687|doi=10.2307/2324715|ref=harv }}</ref>
 
Μια άπειρη σειρά για το π (δημοσιεύθηκε από τον Nilakantha τον 15ο αιώνα) που συγκλίνει πιο γρήγορα από τη σειρά του Gregory–Leibniz είναι:<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=223}}, (formula 16.10). Note that (''n''&nbsp;−&nbsp;1)''n''(''n''&nbsp;+&nbsp;1) = ''n''<sup>3</sup>&nbsp;−&nbsp;''n''.<br />{{cite book|last=Wells|first=David|page=35|title=The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers|edition=revised|publisher=Penguin|year=1997|isbn=978-0-140-26149-3|ref=harv}}</ref>
 
: <math> \pi = 3 + \frac{4}{2\times3\times4} - \frac{4}{4\times5\times6} + \frac{4}{6\times7\times8} - \frac{4}{8\times9\times10} + \cdots </math>
 
Ο ακόλουθως πίνακας συγκρίνει τα ποσοστά σύγκλισης από αυτές τις δύο σειρές:
<center>
{|class="wikitable" style="text-align: center; "
|-
! Άπειρη σειρά για π !! Μετά τον 1ο όρο !! Μετά τον 2ο όρο !! Μετά τον 3ο όρο !! Μετά τον 4ο όρο !! Μετά τον 5ο όρο !! Συγκλίνει/Προσεγγίζει το:
|-
| <math>\scriptstyle \pi = \frac{4}{1} - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \frac{4}{9} - \frac{4}{11} + \frac{4}{13} \cdots.</math>
||4.0000||2.6666...||3.4666...||2.8952...||3.3396...||rowspan=2| π = 3.1415...
|-
| <math>\scriptstyle \pi = {{3}} + \frac{{4}}{2\times3\times4} - \frac{{4}}{4\times5\times6} + \frac{{4}}{6\times7\times8} \cdots. </math>
||3.0000||3.1666...||3.1333...||3.1452...||3.1396...
|}
</center>
Μετά από πέντε όρους, το άθροισμα της σειράς του Gregory–Leibniz είναι εντός 0.2 της σωστής τιμής του π, ενώ το ποσό της σειράς του Nilakantha είναι εντός 0.002 της σωστής τιμής του π.Η σειρά του Nilakantha συγκλίνει γρηγορότερα και είναι πιο χρήσιμη για τον υπολογισμό των ψηφίων του π. Μια σειρά που συγκλίνει ακόμη πιο γρήγορα περιλαμβάνει τη σειρά [[σειρά|σειρά Machin]] και [[σειρά|σειρά Chudnovsky]], που αργότερα παρήγαγε 14 σωστά δεκαδικά ψηφία ανά όρο.<ref name="Aconverge" />
 
===Αρρητότητα και υπερβατικότητα===
Δεν στόχευαν όλες οι μαθηματικές πρόοδοι που αφορούν τον π στην αύξηση της ακρίβειας των προσεγγίσεων. Όταν ο [[Λέοναρντ Όιλερ|Όιλερ]] έλυσε το [[πρόβλημα της Βασιλείας]] το [[1735]], βρίσκοντας την ακριβή τιμή του αθροίσματος των αμφότερων τετραγώνων, καθιέρωσε μια σύνδεση μεταξύ του π και των [[Πρώτοι αριθμοί|πρώτων αριθμών]] που αργότερα συνέβαλαν στην ανάπτυξη και τη μελέτη της [[ζήτα συνάρτηση|συνάρτησης ζήτα]] του [[Ρίμαν]]:<ref name="Posamentier">{{harvnb|Posamentier|Lehmann|2004|pp=284}}</ref>
 
:<math> \frac{\pi^2}{6} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots .</math>
 
Ο Ελβετός επιστήμονας [[Johann Heinrich Lambert|Λάμπερτ]] το 1761 απέδειξε ότι ο π είναι [[Άρρητος αριθμός|άρρητος]], που σημαίνει ότι δεν είναι ίσος με το πηλίκο δύο ακεραίων αριθμών.<ref name="Arndt_i" /> H [[απόδειξη ότι π άρρητος|απόδειξη του Λάμπερτ]] εκμεταλλεύτηκε μια αναπαράσταση συνεχών κλασμάτων της συνάρτησης εφαπτομένης.<ref>Lambert, Johann, "Mémoire sur quelques propriétés remarquables des quantités transcendantes circulaires et logarithmiques", ανατύπωση στο {{harvnb|Berggren|Borwein|Borwein|1997|pp=129–140}}</ref> Ο Γάλλος μαθηματικός [[Adrien-Marie Legendre|Λεζάντρ]] απέδειξε το [[1794]] ότι ο π<sup>2</sup> είναι επίσης άρρητος. Το [[1882]], ο Γερμανός μαθηματικός [[Ferdinand von Lindemann|φον Λίντεμαν]] απέδειξε ότι ο π είναι [[υπερβατικός αριθμός|υπερβατικός]], επιβεβαιώνοντας την εικασία που έκαναν αμφότεροι ο Λεζάντρ και ο Όιλερ.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=196}}</ref>
 
===Εποχή υπολογιστών και επαναληπτικοί αλγόριθμοι===
[[File:JohnvonNeumann-LosAlamos.gif|thumb|upright|alt=Formal photo of a balding man wearing a suit|Ο [[John von Neumann]] ήταν μέλος της ομάδας που πρώτη χρησιμοποίησαν ένα ψηφιακό υπολογιστή, [[ENIAC]], για να υπολογίσουν το π.]]
{{quote box|fontsize=90%|qalign=left|quote=
Ο [[αλγόριθμος Gauss–Legendre|επαναληπτικός αλγόριθμος Gauss–Legendre ]]:<br />Προετοιμασία
:<math>\scriptstyle a_0 = 1 \quad b_0 = \frac{1}{\sqrt 2} \quad t_0 = \frac{1}{4} \quad p_0 = 1</math>
Εύρεση
:<math>\scriptstyle a_{n+1} = \frac{a_n+b_n}{2} \quad \quad b_{n+1} = \sqrt{a_n b_n}</math>
:<math>\scriptstyle t_{n+1} = t_n - p_n (a_n-a_{n+1})^2 \quad \quad p_{n+1} = 2 p_n</math>
Στη συνέχεια μια εκτίμηση για το π δίνεται από
:<math>\scriptstyle \pi \approx \frac{(a_n + b_n)^2}{4 t_n}</math>
}}
 
Η ανακάλυψη των υπολογιστών στα μέσα του 20ου αιώνα αναζωπύρωσαν το κυνήγι για τα ψηφία του π.Οι Αμερικάνοι μαθηματικοί [[John Wrench]] και Levi Smith έφτασαν τα 1,120 ψηφία το 1949 χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή γραφείου.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=205}}</ref> Χρησιμοποιώντας μια άπειρη σειρά της [[αντίστροφης εφαπτομένης]] (arctan), μια ομάδα με επικεφαλής τους [[George Reitwiesner]] και [[John von Neumann]] την ίδια χρονιά ανακάλυψαν 2,037 ψηφία με τον υπολογισμό που έκανε ο υπολογιστής [[ENIAC]] σε 70 ώρες του χρόνου του υπολογιστή.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}. See also {{harvnb|Reitwiesner|1950}}.</ref> Την ιστορία του, επικαλείται πάντα μια σειρά arctan, που έσπαγε επανειλλημένα τα προηγούμενα ρεκορ(7,480 ψηφία το 1957; 10,000 ψηφία το 1958; 100,000 ψηφία το 1961) μέχρι 1 εκατομμύριο ψηφία το 1973.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=197}}</ref>
 
Δύο επιπλέον εξελίξεις γύρω στο 1980 επιτάχυναν εκ νέου την δυνατότητα υπολογισμού του π. Πρώτον, η ανακάλυψη νέων [[επαναληπτικοί αλγόριθμοι|επαναληπτικών αλγορίθμων]] για τον υπολογισμό του π, που ήταν πολύ πιο γρήγοροι από την άπειρη σειρά, και δεύτερον, η εφεύρεση [[Multiplication algorithm#Fast multiplication algorithms for large inputs|γρήγορου πολλαπλασιασμού αλγορίθμων]] που θα μπορούσε να πολλαπλασιάσει μεγάλους αριθμούς πολύ γρήγορα .<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=15–17}}</ref> Τέτοιοι αλγόριθμοι είναι ιδιαίτερα σημαντικοί στους σύγχρονους υπολογισμούς του π , επειδή το μεγαλύτερο μέρος του χρόνου του υπολογιστή είναι αφιερωμένο στον πολλαπλασιασμό.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=131}}</ref> Περιλαμβάνουν τον [[αλγόριθμο Karatsuba]], τον [[πολλαπλασιασμό Toom–Cook ]], και [[FFT multiplication#Fourier transform methods|Fourier transform-based μέθοδοι]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=132, 140}}</ref>
 
Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι δημοσιεύθηκαν ανεξάρτητα το 1975–1976 από τον Αμερικάνο φυσικό [[Eugene Salamin (μαθηματικός)|Eugene Salamin]] και Αυστραλιανό επιστήμονα [[Richard Brent (επιστήμονας)|Richard Brent]].<ref name="Arndt_j">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=87}}</ref> Αυτοί απέφευγαν την εξάρτηση από τις άπειρες σειρές. Ένας επαναληπτικός αλγόριθμος επαναλαμβάνει έναν ειδικό υπολογσμό,κάθε επανάληψη με εισροές,τις εκροές από προηγούμενα βήματα, και παράγει ένα αποτέλεσμα με κάθε βήμα που συγκλίνει στην επιθυμητή τιμή. Η προσέγγιση ανακαλύφθηκε στην πραγματικότητα πάνω από 160 χρόνια νωρίτερα από τον [[Carl Friedrich Gauss]], σε αυτό που αποκαλείται τώρα [[AGM method|αριθμητική-γεωμετρική σημασιακή μέθοδος]] (AGM μέθοδος) ή [[αλγόριθμος Gauss–Legendre]].<ref name="Arndt_j" /> Καθώς τροποποιήθηκε από τους Salamin και Brent, αυτό επίσης αναφέρεται και ως αλγόριθμος Brent-Salamin.
 
Οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι χρησιμοποιήθηκαν ευρέως μετά το 1980, επειδή είναι πιο γρήγοροι από τις άπειρες σειρές αλγορίθμων: ενώ οι άπειρες σειρές συνήθως αυξάνουν τον αριθμό των σωστών ψηφίων αθροιστικά σε διαδοχικούς όρους, οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι γενικά ''πολλαπλασιάζουν'' τον αριθμό των σωστών ψηφίων σε κάθε βήμα. Για παράδειγμα, ο αλγόριθμος Brent-Salamin διπλασιάζει τον αριθμό των ψηφίων σε κάθε επανάληψη. Το 1984, τα Καναδά αδέρφια [[Jonathan Borwein|John]] και [[Peter Borwein]] παρήγαγαν έναν επαναληπτικό αλγόριθμο που τετραπλασιάζει τον αριθμό των ψηφίων σε κάθε βήμα; και το 1987, ένας που αυξάνει τον αριθμό των ψηφίων πέντε φορές σε κάθε βήμα.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=111 (5 times); pp. 113–114 (4 times)}}.<br />See {{harvnb|Borwein|Borwein|1987}} for details of algorithms.</ref> Επαναληπτικές μέθοδοι χρησιμοποιήθηκαν από τον Ιάπωνα μαθηματικό [[Yasumasa Kanada]] για να καθορίσουν πολλά ρεκορ για τον υπολογισμό του π μετάξυ 1995 και 2002.<ref name="Background" /> Αυτή η ταχεία σύγκλιση έρχεται σε μια τιμή: οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι απαιτούν σημαντικά περισσότερη μνήμη από τις άπειρες σειρές.<ref name="Background">{{cite web|last=Bailey|first=David H.|url=http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/dhb-kanada.pdf|title=Some Background on Kanada’s Recent Pi Calculation|date=16 May 2003|accessdate=12 April 2012}}</ref>
 
===Κίνητρα για υπολογισμό του π===
[[File:Record pi approximations.svg|thumb|400px|right|Καθώς οι μαθηματικοί ανακάλυψαν νέους αλγόριθμους, και οι υπολογιστές έγιναν διαθέσιμοι, ο αριθμός των γνωστών δεκαδικών ψηφίων του π αυξήθηκαν δραματικά.]]
Για τους περισσότερους αριθμητικούς υπολογισμούς που αφορούν τον π, μια χούφτα των ψηφίων του παρέχουν επαρκή ακρίβεια. Σύμφωνα με τους Jörg Arndt και Christoph Haenel, τριάντα εννέα ψηφία είναι επαρκή να εκτελέσουν τους περισσότερους [[Κοσμολογία|κοσμολογικούς]] υπολογισμούς,
γιατί αυτή η ακρίβεια είναι απαραίτητη για τον υπολογισμό του όγκου του γνωστού σύμπαντος με ακρίβεια ενός ατόμου.<ref name="Arndt_b">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=17}}. <!--quote from p. 17:-->"39 digits of π are sufficient to calculate the volume of the universe to the nearest atom."<br /> Accounting for additional digits needed to compensate for computational [[round-off error]]s, Arndt concludes that a few hundred digits would suffice for any scientific application.</ref> Παρά το γεγονός αυτό, οι άνθρωποι έχουν εργαστεί έντονα για τον υπολογισμό του π σε χιλιάδες και χιλιάδες ψηφία.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=17–19}}</ref> Αυτή η προσπάθεια μπορεί να αποδωθεί εν μέρει με τον ανθρώπινο εξαναγκασμό να σπάσει ρεκορ, και τέτοια επιτεύγματα με τον π συχνά κάνουν πρωτοσέλιδα σε όλο τον κόσμο.<ref name="msnbc.msn.com">{{cite news|title=John W. Wrench, Jr.: Mathematician Had a Taste for Pi|first=Matt|last=Schudel|newspaper=The Washington Post|date=25 March 2009|page=B5}}</ref><ref name="independent.co.uk">{{cite news|title=The Big Question: How close have we come to knowing the precise value of pi?|url=http://www.independent.co.uk/news/science/the-big-question-how-close-have-we-come-to-knowing-the-precise-value-of-pi-1861197.html|newspaper=The Independent|date=8 January 2010|accessdate=14 April 2012}}</ref> Έχουν επίσης πρακτικά οφέλη, όπως σε δοκιμές [[Υπερυπολογιστής|υπερυπολογιστών]], δοκιμή αριθμητικής ανάλυσης αλγορίθμων (συμπεριλαμβανομένων [[Αλγόριθμος|της υψηλής ακρίβειας υπολογισμού του πολλαπλασιασμού αλγορίθμων]]); και εντός των καθαρών μαθηματικών, παρέχουν στοιχεία για την αξιολόγηση της τυχαιότητας των ψηφίων του π.<ref name="Arndt_c">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=18}}</ref>
 
===Γρήγορα συγκλίνουσες σειρές===
[[File:Srinivasa Ramanujan - OPC - 1.jpg|thumb|upright|alt=Photo portrait of a man| Ο [[Srinivasa Ramanujan]], που εργάζεται σε απομόνωση στην Ινδία, παρήγαγε πολλές καινοτόμες σειρές για την πληροφρική π.]]
Οι σύγχρονες αριθμομηχανές π δεν χρησιμοποιούν αποκλειστικά τους επαναληπτικούς αλγόριθμους. Νέες άπειρες σειρές ανακαλύφθηκαν στη δεκαετία του 1980 και 1990 που είναι τόσο γρήγορες όσο οι επαναληπτικοί αλγόριθμοι, όμως είναι απλούστερες και απαιτούν λιγότερη εντατική μνήμη.<ref name="Background" /> Οι γρήγοροι επαναληπτκοί αλγόριθμοι αναμενόταν να συμβούμ το 1914, όταν ο Ινδός μαθηματικός [[Srinivasa Ramanujan]] δημοσίευσε δεκάδες καινοτόμες μορφές εφαρμογών του π, αξιοπρόσεκτα για την κομψότητά τους, το μαθηματικό βάθος, και την ταχεία σύγκλιση.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=103–104}}</ref> Ένας από τους τύπους, που βασίζεται σε [[Εξίσωση|σπονδυλωτές εξισώσεις]] είναι:
:<math>\frac{1}{\pi} = \frac{2 \sqrt 2}{9801} \sum_{k=0}^\infty \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}</math>
Αυτή η σειρά συγκλίνει γρηγορότερα από τη σειρά arctan, συμπεριλαμβανομένου του τύπου Machin.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=104}}</ref> Ο [[Bill Gosper]] ήταν ο πρώτος που την χρησιμοποίησε για τις εξελίξεις στον υπολογισμό του π, θέτοντας ένα ρεκορ των 17 εκατομμυρίων ψηφίων το 1985.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=104, 206}}</ref> Ο τύπος του Ramanujan αναμένει τους σύγχρονους αλγορίθμους που αναπτύχθηκαν από τους αδερφούς Borwein και τους αδερφούς [[αφοί Chudnovsky|Chudnovsky]].<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111}}</ref> Ο [[Chudnovsky algorithm|τύπος των Chudnovsky]] που αναπτύχθηκε το 1987 είναι
:<math>\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}</math>
Παράγει περίπου 14 ψηφία του π ανά όρο,<ref>{{harvnb|Eymard|Lafon|1999|p=254}}</ref> και έχει χρησιμοποιηθεί για πολλούς υπολογισμούς π ρεκορ, συμπεριλαμβανομένου του πρώτου να ξεπεράσει (10<sup>9</sup>) ψηφία το 1989 από τα αδέλφια Chudnovsky, 2.7 τρισεκατομμύρια (2.7×10<sup>12</sup>) ψηφία από τον [[Fabrice Bellard]] το 2009, και 10 τρισεκατομμύρια (10<sup>13</sup>) ψηφία το 2011 από τους Alexander Yee και Shigeru Kondo.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=110–111, 206}}<br />Bellard, Fabrice, [http://bellard.org/pi/pi2700e9/pipcrecord.pdf "Computation of 2700 billion decimal digits of Pi using a Desktop Computer"], 11 Feb 2010.</ref><ref name="NW">[http://www.numberworld.org/misc_runs/pi-10t/details.html "Round 2... 10 Trillion Digits of Pi"], NumberWorld.org, 17 Oct 2011. Retrieved 30 May 2012.</ref>
 
In 2006, ο Καναδός μαθηματικός [[Simon Plouffe]] χρησιμοποίησε την [[Ακέραιος|αλγοριθμική σχέση ακέραιος]] PSLQ <ref>PSLQ means Partial Sum of Least Squares.</ref> για να παράγει αρκετές νέες μορφές εφαρμογών του π, σύμφωνα με το ακόλουθο πρότυπο:
:<math>\pi^k = \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^k} \left(\frac{a}{q^n-1} + \frac{b}{q^{2n}-1} + \frac{c}{q^{4n}-1}\right)</math>
όπου <math>\mathit{q}</math> είναι το [[Gelfond's constant|<math>e^{\pi}</math>]] (σταθερά του Gelfond), <math> \mathit{k}</math> είναι ένας [[Περιττός αριθμός|μονός αριθμός]], και <math>\mathit{a, b, c}</math> είναι ορισμένοι λογικοί αριθμοί που υπολόγισε ο Plouffe .<ref>{{cite web|first=Simon|last=Plouffe|authorlink=Simon Plouffe|title=Identities inspired by Ramanujan's Notebooks (part 2)|date=April 2006|url=<!-- http://www.lacim.uqam.ca/~plouffe/inspired2.pdf -->http://plouffe.fr/simon/inspired2.pdf|accessdate=10 April 2009}}</ref>
 
===Τάπα αλγόριθμοι===
Δύο αλγόριθμοι που ανακαλύφθηκαν το 1995 άνοιξαν νέους δρόμους στην έρευνα του π. Καλούνται [[τάπα αλγόριθμοι]] επειδή, όπως το νερό που στάζει από μια [[Tap (valve)|τάπα]], παράγουν μονά ψηφία του π που δεν ξαναχρησιμοποιούνται όταν αυτά υπολογιστούν.<ref name="Arndtpp" /><ref name="Gibbons">Gibbons, Jeremy, [http://www.cs.ox.ac.uk/jeremy.gibbons/publications/spigot.pdf "Unbounded Spigot Algorithms for the Digits of Pi"], 2005. Gibbons produced an improved version of Wagon's algorithm.</ref> Αυτό είναι σε αντίθεση με τις άπειρες σειρές ή τους επαναληπτικούς αλγόριθμους, που θα διατηρήσουν και θα χρησιμοποιήσουν όλα τα ενδιάμεσα ψηφία μέχρι να παραχθεί το τελικό αποτέλεσμα.<ref name="Arndtpp">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=77–84}}</ref>
 
Οι Αμερικάνοι μαθηματικοί [[Stan Wagon]] και [[Stanley Rabinowitz]] παρήγαγαν ένα τάπα αλγόριθμο το 1995.<ref name="Gibbons" /><ref name="Arndt_k">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=77}}</ref><ref>{{cite journal|first1=Stanley|last1=Rabinowitz|last2=Wagon|first2=Stan|year=1995|month=March|title=A spigot algorithm for the digits of Pi|journal=American Mathematical Monthly|volume=102|issue=3|pages=195–203|doi=10.2307/2975006|ref=harv}} A computer program has been created that implements Wagon's spigot algorithm in only 120 characters of software.</ref> Η ταχύτητά του συγκρίνεται με αλγόριθμους arctan, αλλά δεν είναι τόσο γρήγορος όσο ο επαναληπτικός αλγόριθμος.<ref name="Arndt_k" />
 
Άλλος αλγόριθμος τάπα, ο [[Bailey–Borwein–Plouffe formula|BBP]] [[αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων]], ανακαλύφθηκε το 1995 από τον Simon Plouffe:<ref name="Arndtpp_a">{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|pp=117, 126–128}}</ref><ref name="bbpf">{{cite journal|author=[[David H. Bailey|Bailey, David H.]]; [[Peter Borwein|Borwein, Peter B.]]; and [[Simon Plouffe|Plouffe, Simon]]|year=1997| month=April|title=On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants|journal=Mathematics of Computation|volume=66| issue=218|pages=903–913|url=<!-- http://crd.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf -->http://crd-legacy.lbl.gov/~dhbailey/dhbpapers/digits.pdf|format=PDF|doi=10.1090/S0025-5718-97-00856-9|ref=harv}}</ref>
:<math> \pi = \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{16^i} \left( \frac{4}{8i + 1} - \frac{2}{8i + 4} - \frac{1}{8i + 5} - \frac{1}{8i + 6}\right)</math>
Αυτός ο τύπος, σε αντίθεση με άλλους προγενέστερους από αυτόν, μπορεί να παράγει κάθε [[Δεκαεξαδικό σύστημα αρίθμησης|δεκαεξαδικό]] ψηφίο του π χωρίς τον υπολογισμό όλων των προηγούμενων ψηφίων του.<ref name="Arndtpp_a" /> Κάθε [[Οκταδικό σύστημα αρίθμησης|οκταδικό]] ή δυαδικό ψηφίο μπορεί να εξορυχθεί-προκύψει από ένα δεκαεξαδικό ψηφίο. Παραλλαγές του αλγορίθμου που έχουν ανακαλυφθεί, αλλά δεν έχει ακόμα ανακαλυφθεί ο αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων που θα παράγει γρήγορα τα δεκαδικά ψηφία .<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=128}}. Plouffe did create a decimal digit extraction algorithm, but it is slower than full, direct computation of all preceding digits.</ref> Μια σημαντική εφαρμογή των αλγορίθμων εξόρυξης ψηφίων είναι να επικυρώσει τις νέες απαιτήσεις των υπολογιστικών ρεκόρ π : μετά από μια νέα εγγραφή που ζητήθηκε, το δεκαδικό αποτέλεσμα μετατρέπεται σε δεκαεξαδικό, και στη συνέχεια ένας αλγόριθμος εξόρυξης ψηφίων χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό αρκετών τυχαίων δεκαδικών ψηφίων κοντά στο τέλος; Αν ταιριάζουν, αυτό παρέχει ένα μέτρο της εμπιστοσύνης ότι ολόκληρος ο υπολογισμός είναι σωστός.<ref name="NW" />
 
Ανάμεσα στο 1998 και 2000, τα [[Υπολογιστής|κατανεμημένα υπολογιστικά]] έργα [[PiHex]] χρησιμοποιούν τον [[τύπο Bellard]] (μια τροποποίηση του αλγορίθμου BBP) για τον υπολογισμό του quadrillionth (10<sup>15</sup>ο) κομμάτι του π, το οποίο αποδείχτηκε ότι ήταν 0.<ref>{{harvnb|Arndt|Haenel|2006|p=20}}<br />Bellards formula in: {{cite web|url=http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html|title=A new formula to compute the n<sup>th</sup> binary digit of pi|first=Fabrice|last=Bellard|authorlink=Fabrice Bellard|accessdate=27 October 2007 |archiveurl = http://web.archive.org/web/20070912084453/http://fabrice.bellard.free.fr/pi/pi_bin/pi_bin.html <!-- Bot retrieved archive --> |archivedate =12 September 2007}}</ref> Το Σεπτέμβριο του 2010, ένας υπάλληλος του [[Yahoo!]] χρησιμοποίησε τις συστοιχίες της εταιρείας [[Apache Hadoop|Hadoop]] σε χίλιους υπολογιστές για διάστημα πάνω από 23-μέρες για τον υπολογισμό 256 [[Δυαδικό ψηφίο|δυαδικών ψηφίων]] του π με το δύο-quadrillionth (2×10<sup>15</sup>ο) δυαδικό ψηφίο, το οποίο επίσης συμβαίνει να είναι μηδέν.<ref>{{cite news|title= Pi record smashed as team finds two-quadrillionth digit|author=Palmer, Jason|newspaper=BBC News|date=16 September 2010|url=http://www.bbc.co.uk/news/technology-11313194|accessdate=26 March 2011}}</ref>
 
== Δείτε επίσης ==
 
* [[Ευκλείδεια Γεωμετρία]]
 
==Παραπομπές==
{{παραπομπές|30em}}
 
== Εξωτερικοί σύνδεσμοι ==
{{commonscat}}
 
 
{{Αριθμοί}}
{{Authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
{{ενσωμάτωση κειμένου|en|Pi}}
 
[[Κατηγορία:Μαθηματικές σταθερές]]
Ανακτήθηκε από "https://el.wikipedia.org/wiki/Π_(μαθηματική_σταθερά)"