Διανυσματικός χώρος: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων

Το πρώτο παράδειγμα ενός διανυσματικού χώρου αποτελείται από τα [[Βέλος (γεωμετρία)|βέλη]] σε ένα σταθερό [[επίπεδο]], ξεκινώντας από ένα σταθερό σημείο. Αυτό χρησιμοποιείται στη φυσική για να περιγράψει τις δυνάμεις και τις [[Ταχύτητα|ταχύτητες]]. Έχοντας δυο τέτοια βέλη, '''v''' και '''w''', το [[παραλληλόγραμμο]] που σχηματίζουν, περιέχει ένα διαγώνιο βέλος το οποίο έχει αρχή το κοινό σημείο των δυο αρχικών βελών. Αυτό το νέο βέλος ονομάζεται ''άθροισμα'' των δυο βελών και συμβολίζεται με '''v'''+'''w'''. Μια άλλη διεργασία που μπορεί να επιτευχθεί με τα βέλη είναι η εξής: δίνεται ένας οποιοσδήποτε θετικός πραγματικός αριθμός α και το βέλος με φορά ίδια με αυτή του '''v''', αλλά επεκτείνεται ή συρρικνώνεται πολλαπλασιάζοντάς το με το μήκος του α, η πράξη αυτή ονομάζεται ''πολλαπλασιασμός του '''v''' με α. Συμβολίζεται με α'''v'''. Αν ο αριθμός α είναι αρνητικός, τότε το α'''v''' ορίζεται ως βέλος που δείχνει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Οι παρακάτω εικόνες δείχνουν δυο παραδείγματα: αν α=2, το διάνυσμα που προκύπτει α'''w''' έχει την ίδια κατεύθυνση με το '''w''', αλλά είναι επεκτεταμένο κατά το διπλάσιο μήκος του (δεξιά εικόνα). Ισοδύναμα 2'''w''' είναι το άθροισμα '''w''' + '''w'''. Επιπλέον, (-1)'''v'''= -'''v''', έχει την αντίθετη κατεύθυνση αλλά το ίδιο μήκος με το '''v'''.

:(α₁, α₂, ..., α_n), όπου κάθε α_i είναι στοιχείο του Κ.

[[Αρχείο:Vector_components_and_base_change.svg|200px|thumb|right|Ένα διάνυσμα v στον R² (μπλε) εκφράζεται σε διαφορετικές βάσεις: χρησιμοποιώντας την [[κανονική βάση]] του R²v = xe₁ + ye₂ (μαύρο), και χρησιμοποιώντας μία διαφορετική, όχι [[Ορθογωνιότητα|ορθογώνια]] βάση: v = f₁ + f₂ (κόκκινο)]]Οι βάσεις επιτρέπουν την εισαγωγή [[Διατεταγμένο διάνυσμα|συντεταγμένων]] ως μέσο αναπαράστασης διανυσμάτων. Μια βάση είναι μια (πεπερασμένη ή μη πεπερασμένη) ομάδα Β={b_i} διανυσμάτων bβ_i, για ευκολία συχνά έχει ως δείκτες ένα [[σύνολο δεικτών]] I , που συνδέει όλο το χώρο και είναι [[Γραμμική ανεξαρτησία|γραμμικά ανεξάρτητη]]. «Σύνδεση όλου του χώρου» σημαίνει ότι κάθε διάνυσμα v μπορεί να εκφραστεί ως ένα πεπερασμένο άθροισμα (ονομάζεται [[γραμμικός συνδυασμός]]) των στοιχείων της βάσης:

:V = α₁β_i1 + α₂β_i2 +…+α _nβ_in,

:q_nαⁿ + q_n-1α^n-1 + … + q₀ με φυσικούς (rational)συντελεστές q_n,...,q₀.

:''f''('''x''' + '''y''') = ''f''('''x''') + ''f''('''y''') και ''f''(''α''•'''x''') = ''α''•''f''('''x''') για όλα τα '''x''' και '''y''' στο V, όλα τα ''α'' στον ''F''.

Οι γραμμικές απεικονίσεις ''V''→ ''W'' ανάμεσα σε δύο αμετάβλητους διανυσματικούς χώρους από ένα διανυσματικό χώρο Hom_F (''V'',''W''), αναγράφεται και L(''V'',''W''). Ο χώρος των γραμμικών απεικονίσεων απ’ τον ''V'' στον ''F'' ονομάζεται [[Δυϊκός χώρος |δυϊκός(dual) διανυσματικός χώρος]], αναγράφεται και ''V''*. Μέσω της φυσικής απεικόνισης (και ένεσης) ''V''→''V''**, κάθε διανυσματικός χώρος μπορεί να επεκταθεί στο διπλό του· η απεικόνιση είναι ένας ισομορφισμός αν και μόνο αν ο χώρος είναι πεπερασμένης διάστασης.

'''x'''=(X₁, X₂,..., X_n)→ <math>(\sum_{j=1}^n a_{1j}x_j, \sum_{j=1}^n a_{2j}x_j,...,\sum_{j=1}^n a_{mj}x_j</math> όπου Σ συμβολίζει [[άθροιση]], ή χρησιμοποιώντας τον [[Πολλαπλασιασμός πινάκων |πολλαπλασιασμό πινάκων]] του πίνακα ''Α'' με το διατεταγμένο διάνυσμα '''x'''

:'''<x,y> = x · y =''' x₁y₁ + ... + x_ny_n'''.

Στον '''R'''², αυτό αντανακλά τη συνήθη ιδέα της γωνίας ανάμεσα στα δύο διανύσματα '''x''' και '''y''', από το [[Νόμος των συνημίτονων |νόμο των συνημίτονων]]: