Αρμονική συνάρτηση: Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων
Περιεχόμενο που διαγράφηκε Περιεχόμενο που προστέθηκε
προστέθηκαν κάποιες αρχικές πληροφορίες για την αρμονική συνάρτηση |
παρατηρήσεις για τις αρμονικές συναρτήσεις |
||
Γραμμή 4:
Αυτό συνήθως γράφεται ως: <math>\nabla\ ^2f=0</math> ή <math>\bigtriangleup f=0</math>.
== Παρατηρήσεις ==
Το σύνολο των αρμονικών συναρτήσεων που ορίζονται σε ένα ανοικτό δοσμενο σύνολο U μπορεί να θεωρηθεί ως ο πυρήνας ενός τελεστή Λαπλας Δ και για το λόγο αυτό αποτελεί διανυσματικό χώρο πάνω στο R; το άθροισμα, η διαφορά και το βαθμωτό γινόμενο αρμονικών συναρτήσεων είναι επίσης αρμονικά.
Εάν f είναι μια αρμονική συνάρτηση στο σύνολο U, τότε όλες οι μερικές παράγωγοι της f θα είναι αρμονικές συναρτήσεις στο U.
Κατά κάποιο τρόπο, οι αρμονικές συναρτήσεις είναι ανάλογες των [[Ομομορφισμός|ολομορφικών]] συναρτήσεων.
Όλες οι αρμονικές συναρτήσεις είναι αναλυτικές, μπορούν δηλαδή να εκφραστούν τοπικά σα δυναμοσειρές. Αυτός είναι ένας γενικός κανόνας για τους ελλειπτικούς τελεστές, μεγαλύτερο παράδειγμα των οποίων αποτελεί ο [[Τελεστής Λαπλάς|τελεστής Λαπλας]].
Το ομοιόμορφο [[Όριο ακολουθίας|όριο]] μιας συγκλίνουσας [[Ακολουθία|ακολουθίας]] αρμονικών συναρτήσεων είναι κι αυτό αρμονικό. Αυτό ισχύει καθώς κάθε [[Συνέχεια συνάρτησης|συνεχής συνάρτηση]] που ικανοποιεί την ιδιότητα της μέσης τιμής είναι αρμονική.
Ας εξεταστεί η ακολουθία <math>fn(x,y)={1 \over n}\exp(nx)\cos(ny)</math> , ορισμένη στο <math>(-\infty,0)\times R</math>. Η ακολουθία αυτή είναι αρμονική και συγκλίνει ομοιόμορφα στη μηδενική συνάρτηση. Παρ' όλα αυτά πρέπει να σημειωθεί ότι οι [[Μερική παράγωγος|μερικές παράγωγοι]] της δεν συγκλίνουν στη μηδενική συνάρτηση(δηλαδή την παράγωγο της μηδενικής συνάρτησης). Με το παράδειγμα αυτό τονίζεται η σημασία που παίζει η ιδιότητα της μέσης τιμής και η συνέχεια για να υποστηριχθεί ότι το όριο είναι αρμονικό.
| |||