Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

Προσθήκη ενότητας
(Προσθήκη ενότητας)
Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε [[Αξιωματική μέθοδος|αξιωματικής θεωρίας]], ξεκινά από ''<u>πρωταρχικές έννοιες</u>'', οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του '''ανήκειν''', αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λπ. Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα [[Αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας|αξιώματα]], δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία. Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα ''[[Αξιώματα Χίλμπερτ]]''.<br />
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα [[απόδειξη|αποδεικνύοντας]] όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση [[Κατασκευαστική λογική|κατασκευαστική]] και συνίσταται στη χρήση [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]].
 
== ''Τα Στοιχεία'' ==
κύρια πηγή: ''[[Στοιχεία]]''
 
''Τα Στοιχεία'' είναι ουσιαστικά μια συστηματοποίηση της τότε υπάρχουσας γνώσης γεωμετρίας. Τα παλαιότερα παρόμοια εγχειρήματα ήταν σαφώς κατώτερα και για το λόγο αυτό τα περισσότερα έχουν εξαφανιστεί. Η βελτίωση που παρείχαν τα ''Στοιχεία'' αναγνωρίστηκε αμέσως.
 
Υπάρχουν 13 συνολικά βιβλία στα ''Στοιχεία:''
 
Τα βιβλία I-IV και VI ασχολούνται με γεωμετρία επιπέδου. Έχουν αποδειχτεί πολλά αποτελέσματα για το επίπεδο, όπως ότι "''Για κάθε τρίγωνο αν πάρουμε δύο γωνίες μαζί με οποιονδήποτε τρόπο, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα μικρότερο από δύο ορθές γωνίες''" (Βιβλίο I Πρόταση 17), ή το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]] "''Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών''" (Βιβλίο I Πρόταση 47).
 
Τα βιβλία V και VII-X έχουν να κάνουν με θεωρία αριθμών, με αριθμούς που αντιμετωπίζονται γεωμετρικά μέσω της αναπαράστασης τους ως ευθύγραμμα τμήματα με διάφορα μήκη. Εισάγονται και έννοιες όπως [[Πρώτος αριθμός|πρώτοι αριθμοί]], [[Ρητός αριθμός|ρητοί]] και [[Άρρητος αριθμός|άρρητοι]] αριθμοί. Επίσης αποδεικνύεται και η απειρία των πρώτων αριθμών.
 
Τέλος τα βιβλία XI-XIII μιλούν για στερεομετρία. Ένα γνωστό αποτέλεσμα είναι η εύρεση του λόγου του όγκου ενός κώνου και ενός κυλίνδρου με ίδιο ύψος και βάση που είναι ίσος με 1:3.
 
== Ιστορική συμβολή ==
24

επεξεργασίες