Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

Επέκταση λήμματος
(Προσθήκη ενότητας)
(Επέκταση λήμματος)
 
Τέλος τα βιβλία XI-XIII μιλούν για στερεομετρία. Ένα γνωστό αποτέλεσμα είναι η εύρεση του λόγου του όγκου ενός κώνου και ενός κυλίνδρου με ίδιο ύψος και βάση που είναι ίσος με 1:3.
 
=== Αξιώματα ===
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα [[αξιωματικό σύστημα]] στο οποίο τα θεωρήματα προέρχονται από ένα μικρό αριθμό αξιωμάτων<ref>{{Cite book|title=Introduction to Non-Euclidean Geometry|last=Wolfe|first=Harold E.|publisher=Mill Press|year=2007|isbn=1-4067-1852-1|location=|page=9}}</ref>. Στην αρχή του πρώτου βιβλίου των ''Στοιχείων'' ο Ευκλείδης δίνει 5 αξιώματα για τη γεωμετρία του επιπέδου και σχετίζονται με τη κατασκευή.(Όπως το μετέφρασε ο Thomas Heath)<ref>tr. Heath, pp. 195–202</ref>:
 
"Let the following be postulated"(δηλαδή ας πάρουμε τα παρακάτω ως αποδεκτά):
[[Αρχείο:Parallel postulate.png|μικρογραφία|Αξίωμα παραλληλίας: "Έστω δύο ευθείες που τέμνονται με μια τρίτη. Οι ευθείες αυτές θα έχουν ένα σημείο τομής από την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται με την τρίτη ευθεία έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές γωνίες."]]
# "Η κατασκευή μιας [[Ευθεία|ευθείας γραμμής]] από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο"
# "Μια πεπερασμένη ευθεία μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα"
# "Ένας [[κύκλος]] ορίζεται από ένα κέντρο και μια απόσταση([[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]])"
# "Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες"
# Το αξίωμα παραλληλίας: "Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες, τότε αυτές οι δύο αν επεκταθούν επ' αόριστον θα τμηθούν απ' την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο κάθετες"
Τα ''Στοιχεία'' περιλαμβάνουν επίσης τις επόμενες 5 "κοινές έννοιες"'':''
# Αντικείμενα που είναι ίσα με κάποιο άλλο ίδιο αντικείμενο είναι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα ισότητας)
# Αν ίσα αντικείμενα προστεθούν σε ίσα, τότε τα τελικά παραμένουν ίσα(προσθετική ιδιότητα)
# Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα τελικά είναι επίσης ίσα(αφαιρετική ιδιότητα)
# Αντικείμενα που συμπίπτουν μεταξύ τους είναι ίσα
# Το όλο είναι μεγαλύτερο από ένα κομμάτι του.
 
=== Αξίωμα Παραλληλίας ===
Το αξίωμα αυτό σε σχέση με τα άλλα έμοιαζε λιγότερο προφανές για τους αρχαίους. Επειδή μάλιστα ενδιαφέρονταν να φτιάξουν ένα αυστηρά θεμελιωμένο σύστημα σκέφτονταν ότι ίσως θα πρέπει το αξίωμα αυτό να αποδειχθεί και να μην θεωρηθεί ως δεδομένο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι μια τέτοια απόδειξη είναι μαθηματικά αδύνατη<ref>{{Cite journal|url=|title=History of the Parallel Postulate|last=Lewis|first=Florence P.|date=Jan 1920|journal=The American Mathematical Monthly|accessdate=|doi=}}</ref>. Ο Ευκλείδης παρ'όλα αυτά οργάνωσε ''τα Στοιχεία'' του έτσι ώστε οι 28 πρώτες προτάσεις να είναι αυτές που δε χρειάζονται το αξίωμα της παραλληλίας για να αποδειχθούν.
 
Πολλά αξιώματα μπορούν να διατυπωθούν ώστε να έχουν ίδιες [[Λογική συνέπεια|λογικές συνέπειες]] με το αξίωμα της παραλληλίας. Για παράδειγμα το αξίωμα Playfair's που μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί του 5<sup>ου</sup> αξιώματος του Ευκλείδη λέει το εξής:
 
Σε ένα [[επίπεδο]] δοθέντος μιας ευθείας και ενός σημείου εκτός αυτής, μπορώ να κατασκευάσω το πολύ μια ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα που θα περνάει απ' το δοθέν σημείο.
 
== Ιστορική συμβολή ==
24

επεξεργασίες