Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Αρμονική συνάρτηση»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
(προσθηκη στοιχείων για αρμονικες συναρτησεις)
 
Τέλος, παραδείγματα αρμονικών συναρτήσεων ''n'' μεταβλητών είναι:
* Οι σταθερές, γραμμικές και συναφής συναρτήσεις σε όλο το '''R'''<sup>''n''</sup> (για παράδειγμα, το [[ηλεκτρικό δυναμικό]] μεταξύ των πλακών του [[Πυκνωτής|πυκνωτή]], και η βαρύτηταβαρύτικό δυναμικό της πλάκας)
* Η συνάρτηση<math>\,\! f(x_1,\dots,x_n)=({x_1}^2+\cdots+{x_n}^2)^{1-n/2}</math> στο <math>\mathbb{R}^n \setminus \lbrace 0 \rbrace</math> για ''n'' > 2.
 
== Παρατηρήσεις ==
Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος κάθε ολόμορφης συνάρτησης δίνουν αρμονικές συναρτήσεις στον '''R'''<sup>2</sup> (αυτές αποτελούν ένα ζευγάρι σηζυγών αρμονικών συναρτήσεων). Αντιστρόφως, κάθε αρμονική συνάρτηση ''u'' σε ένα ανοιχτό υποσύνολο Ω του '''R'''<sup>2</sup> είναι ''τοπικά'' το πραγματικό μέρος μιας ολόμορφης συνάρτησης. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό παρατηρώντας την ''z''&#x20;=&#x20;''x''&#x20;+&#x20;''iy''. Η μιγαδική συνάρτηση ''g''(''z'')&#x20;:=&#x20;''u<sub>x</sub>''&#x20;−&#x20;i ''u<sub>y</sub>'' είναι ολόμορφη στο Ω επειδή ικανοποιεί τις εξισώσεις Cauchy-Riemann. Ως εκ τούτου, ''το g'' έχει τοπικά μια παράγουσα ''f,'' και το ''u'' είναι το πραγματικό μέρος της ''f'' πάνω σε μια σταθερά, όπως το ''u<sub>x</sub>'' είναι το πραγματικό μέρος της <math>\scriptstyle f\,^\prime=g</math> .
 
Αν και η παραπάνω αντιστοιχία με τις ολόμορφες συναρτήσεις ισχύει μόνο για συναρτήσεις δύο πραγματικών μεταβλητών, αρμονικές συναρτήσεις με ''n'' μεταβλητές εξακολουθούν να έχουν μια σειρά από ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τις ολόμορφες συναρτήσεις. Είναι (πραγματικό) αναλυτικές, έχουν έναικανοποιούν μέγιστοτην αρχή καιτου μέσημεγίστου τιμήκαι αρχήςτης *μέσης τιμής.Το θεώρημα της αφαίρεσηςαπαλοιφής τηςτων ιδιαιτερότητεςανώμαλων σημείων καθώς και το θεώρημα Liouville ισχύει και για τουςαυτές κατ ' αναλογία με τα αντίστοιχα θεωρήματα σεστη μιγαδικέςθεωρία συναρτήσειςτων θεωρίαμιγαδικών συναρτήσεων.
24

επεξεργασίες