Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

Επέκταση λήμματος και προσθήκη εικόνων παραδειγμάτων.
(Επέκταση λήμματος και προσθήκη εικόνων παραδειγμάτων.)
 
== Μέθοδοι απόδειξης ==
[[Αρχείο:Euclid-proof.svg|μικρογραφία|Απόδειξη απ' τα ''Στοιχεία'' του Ευκλείδη. "Αν έχουμε ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα, τότε υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο που θα έχει αυτό το τμήμα ως μια απ΄ τις πλευρές του". Η απόδειξη είναι κατασκευαστική. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ φτιάχνεται αν κατασκευάσουμε δύο κύκλους Δ και Ε με κέντρα Α και Β αντίστοιχα και πάρουμε το σημείο Γ να είναι μια απ΄τις δύο τομές των δύο κύκλων. Ενώνοντας τα σημεία Α,Β και Γ έχουμε το ζητούμενο ισόπλευρο τρίγωνο.]]
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι "κατασκευαστική". Τα αξιώματα 1,2,3 και 5 μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων. Δε μένουν όμως μόνο εκεί γιατί μας εξασφαλίζουν και τις μεθόδους που τα κατασκευάζουν. Γιαυτό λέμε ότι είναι και "κατασκευαστική". Τα εργαλεία που απαιτούνται για την κατασκευή είναι χάρακας και διαβήτης<ref>Ball, σελ.56</ref>.Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι πιο συμπαγής από άλλα μοντέρνα αξιωματικά συστήματα όπως ας πούμε η [[θεωρία συνόλων]], που συχνά εξασφαλίζουν μόνο την ύπαρξη και όχι την μέθοδο κατασκευής ενός αντικειμένου. Υπάρχουν και περιπτώσεις που εξασφαλίζεται η ύπαρξη αλλά η ίδια θεωρία δεν επιτρέπει την κατασκευή.<ref>Με τις υποθέσεις του Ευκλείδη είναι εύκολο να βρεθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ή ενός τετραγώνου.Παρ'όλα αυτά στη θεωρία συνόλων δεν είναι το ίδιο εύκολο να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι το άθροισμα των εμβαδών των μερών του. Βλέπε [[Μέτρο Λεμπέγκ]] και [[Banach-Tarski paradox]].</ref> Οι κατασκευαστικές αποδείξεις του Ευκλείδη πολλές φορές αντικαταστάθηκαν από άλλες μη-κατασκευαστικές. Π.χ μερικές αποδείξεις του Πυθαγόρα που περιείχαν άρρητους αριθμούς.
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι "κατασκευαστική". Τα αξιώματα 1,2,3 και 5 μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων. Δε μένουν όμως μόνο εκεί γιατί μας εξασφαλίζουν και τις μεθόδους που τα κατασκευάζουν. Γιαυτό λέμε ότι είναι και "κατασκευαστική". Τα εργαλεία που απαιτούνται για την κατασκευή είναι χάρακας και διαβήτης<ref>Ball, σελ.56</ref>.Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι πιο συμπαγής από άλλα μοντέρνα αξιωματικά συστήματα όπως ας πούμε η [[θεωρία συνόλων]], που συχνά εξασφαλίζουν μόνο την ύπαρξη και όχι την μέθοδο κατασκευής ενός αντικειμένου. Υπάρχουν και περιπτώσεις που εξασφαλίζεται η ύπαρξη αλλά η ίδια θεωρία δεν επιτρέπει την κατασκευή.<ref>Με τις υποθέσεις του Ευκλείδη είναι εύκολο να βρεθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ή ενός τετραγώνου.Παρ'όλα αυτά στη θεωρία συνόλων δεν είναι το ίδιο εύκολο να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι το άθροισμα των εμβαδών των μερών του. Βλέπε [[Μέτρο Λεμπέγκ]] και [[Banach-Tarski paradox]].</ref> Οι κατασκευαστικές αποδείξεις του Ευκλείδη πολλές φορές αντικαταστάθηκαν από άλλες μη-κατασκευαστικές. Π.χ μερικές αποδείξεις του Πυθαγόρα που περιείχαν άρρητους αριθμούς. Ο Ευκλείδης συχνά χρησιμοποιούσε και την μέθοδο της [[Εις άτοπον απαγωγή|εις άτοπον απαγωγής]]. Η ευκλείδεια γεωμετρία επίσης επιτρέπει και τη μέθοδο της υπέρθεσης κατά την οποία ένα αντικείμενο μεταφέρεται από ένα σημείο του χώρου σε κάποιο άλλο. Για παράδειγμα ή Πρόταση Ι4: η συμβατότηταισότητα τριγώνων μπορεί να αποδειχθεί μετακινώντας ένα απ΄ τα τρίγωνα έτσι ώστε η μια πλευρά του να συμπέσει στην αντίστοιχη ίση πλευρά του άλλου τριγώνου και στη συνέχεια αποδεικνύοντας ότι και οι άλλες δύο πλευρές των τριγώνων συμπίπτουν. Ως εναλλακτική της υπέρθεσης έχουμε μοντέρνα μαθηματικά που χρησιμοποιούν ένα ακόμα έκτο αξίωμα που έχει να κάνει με την ακαμψία του τριγώνου.
 
== Σύστημα μέτρησης και αριθμητική ==
Η ευκλείδεια γεωμετρία έχει δύο θεμελιώδεις τύπους μέτρησης: [[γωνία]] και [[απόσταση]]. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε την [[ορθή γωνία]] ως μια βασική μονάδα για να περιγράψει τις υπόλοιπες γωνίες. Δηλαδή μια γωνία 45 μοιρών είναι ίση με μισή ορθή γωνία. Η απόσταση παρ'όλα αυτά δεν είχε έναν σταθερό γνώμονα όπως η ορθή γωνία. Επιλέγοντας ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα μπορούσε κανείς να μετρήσει όλα τα υπόλοιπα σε συνάρτηση με το πρώτο. Ένα τμήμα με μήκος χ αντιστοιχεί στον αριθμό αυτό. Αν θέλουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς χ και y παίρνουμε τα τμήματα με μήκος χ και y και τοποθετούμε το τέλος του ενός στην αρχή του άλλου. Αυτή είναι και μια γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης. Με ανάλογο τρόπο γίνεται η αφαίρεση.
 
Η μέτρηση εμβαδού και όγκου προέρχεται από τις αποστάσεις. Για παράδειγμα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος 3 και μήκος 4 έχει εμβαδόν ίσο με το γινόμενο των δύο. Επειδή η γεωμετρική αυτή ερμηνεία του πολλαπλασιασμού περιορίζεται στις τρεις διαστάσεις δεν μπορούσε να αναπαρασταθεί γεωμετρικά το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών. Έτσι ο Ευκλείδης αν και έκανε κάποιους υπαινιγμούς(π.χ Πρόταση 20 βιβλίο ΙΧ), συνήθως αγνοούσε το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών.
[[Αρχείο:Congruent non-congruent triangles.svg|μικρογραφία|Ένα παράδειγμα ισότητας. Τα πρώτα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους και [[όμοια]] με το τρίτο τρίγωνο. Το τελευταίο δεν είναι τίποτα με τα πρώτα τρία. Παρατηρούμε ότι η θέση και η φορά των τριγώνων μπορεί να αλλάζουν αλλά αυτά που παραμένουν για να έχουμε ισότητα είναι η [[απόσταση]] και η [[γωνία]].]]
Ο Ευκλείδης αναφέρει ένα ζευγάρι ευθειών, επιπέδων ή στερεών ως "ίσα" αν τα μήκη, εμβαδά ή όγκοι τους είναι αντίστοιχα ίσοι. Όμοια για τις γωνίες. Η ισχυρότερη έννοια "[[Ισότητα (μαθηματικά)|ισότητα]]" ορίζεται να είναι η ιδιότητα που λέει πως ένα αντικείμενο έχει ίδιο μέγεθος και σχήμα με κάποιο άλλο. Επίσης ένα σχήμα είναι ίσο με ένα άλλο αν μετακινήσουμε το πρώτο πάνω στο δεύτερο και παρατηρήσουμε ότι ταυτίζονται. Π.χ ένα ορθογώνιο 2*6 με ένα ορθογώνιο 3*4 είναι ισοδύναμα αλλά δεν είναι ίσα. Σχήματα που είναι ίσα χωρίς να έχουν ίδιο μέγεθος αποκαλούνται [[όμοια]]. Αντίστοιχες γωνίες σε ένα ζευγάρι όμοιων σχημάτων είναι ίσες και αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες μεταξύ τους.
 
== Ιστορική συμβολή ==
=== Κλιμάκωση του εμβαδού και του όγκου ===
Στην σύγχρονη ορολογία,το εμβαδόν ενός σχήματος αεροπλάνου είναι ανάλογο με το τετράγωνο μιας οποιασδήποτε από τις γραμμικές του διαστάσεις.<math>A \propto L^2</math> ως προς τον όγκο του στερεού ως προς τον κύβο, <math>A \propto L^3</math> .Ο Ευκλείδης απέδειξε αυτά τα αποτελέσματα σε πολλές διάφορες ειδικές περιπτώσεις όπως αυτή του κύκλου<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 12 , πρόταση 2</ref> και του όγκου σε παραλληλεπίπεδο στερεό<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 11, πρόταση 33</ref>.Ο Ευκλείδης καθόρισε κάποιες ,αλλά όχι όλες, από τις σχετικές σταθερές της αναλογικότητας.Για παράδειγμα ήταν ο διάδοχός του ο [[Αρχιμήδης]] εκείνος ο οποίος απέδειξε ότι μια σφαίρα έχει τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου που περικλείει.<ref>Ball , σελίδα 66</ref>
 
'''19ος αιώνας και μη Ευκλείδεια Γεωμετρία'''
 
Στις αρχές του 19ου αιώνα, ο [[Carnot]] και ο [[Mobius]] ανέπτυξαν συστηματικά τη χρήση των υπογεγραμμένων γωνιών και των ευθύγραμμων τμημάτων ως έναν τρόπο για την απλοποίηση και ενοποίηση των αποτελεσμάτων
 
== Σημειώσεις - Παραπομπές ==
24

επεξεργασίες