Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

Αναίρεση έκδοσης 5856321 από τον Tsaki4 (Συζήτηση)
(Αντικατάσταση της σελίδας με '* *')
(Αναίρεση έκδοσης 5856321 από τον Tsaki4 (Συζήτηση))
[[Αρχείο:Euclid.jpg|μικρογραφία|Λεπτομέρεια από τον πίνακα [[Η Σχολή των Αθηνών (Ραφαήλ)|Η σχολή των Αθηνών]] του [[Ραφαήλ]] που δείχνει έναν Έλληνα μαθηματικό - ίσως αντιπροσωπεύει τον [[Ευκλείδης|Ευκλείδη]] ή τον [[Αρχιμήδης|Αρχιμήδη]]- να χρησιμοποιεί μια πυξίδα για να ζωγραφίσει μια γεωμετρική κατασκευή.]]
Η '''Ευκλείδεια γεωμετρία''' είναι ένα μαθηματικό σύστημα που αποδίδεται στον [[Ευκλείδης|αλεξανδρινό Έλληνα μαθηματικό Ευκλείδη]] και περιγράφεται στο βιβλίο του [[Γεωμετρία|γεωμετρίας]] με όνομα: τα [[Στοιχεία|''Στοιχεία'']]. Η μέθοδος του Ευκλείδη βασίζεται στην υπόθεση ενός μικρού συνόλου [[Αξίωμα|αξιωμάτων]] και στην εξαγωγή πολλών [[Πρόταση|προτάσεων]]([[Θεώρημα|θεωρημάτων]]) από αυτά. Αν και πολλά από τα αποτελέσματα της δουλείας του Ευκλείδη έχουν αναφερθεί νωρίτερα από άλλους μαθηματικούς,<ref>Eves, τόμος 1,σελ.19</ref> ο Ευκλείδης ήταν ο πρώτος που έδειξε πως αυτές οι προτάσεις μπορούν να εισαχθούν σε ένα περιεκτικό επαγωγικό και λογικό σύστημα.<ref>Eves (1963),τόμος 1, σελ.10</ref> Τα ''Στοιχεία'' αρχίζουν με επιπεδομετρία που διδάσκεται στο σχολείο ως το πρώτο [[αξιωματικό σύστημα]] αλλά και τα πρώτα παραδείγματα [[Μαθηματική απόδειξη|επίσημης απόδειξης]] και στη συνέχεια ασχολούνται με [[στερεομετρία]] τριών [[Διάσταση|διαστάσεων]]. Το μεγαλύτερο μέρος των ''Στοιχείων'' αποτελούν κομμάτια της σημερινής [[Άλγεβρα|άλγεβρας]] και [[Θεωρία αριθμών|θεωρίας αριθμών]], γραμμένα σε γλώσσα γεωμετρίας''.''<ref>Eves,σελ.19</ref>
 
Για περισσότερα από δύο χιλιάδες χρόνια το επίθετο "Ευκλείδεια" γεωμετρία δεν ήταν απαραίτητο γιατί κανένα άλλο είδος γεωμετρίας δεν είχε δημιουργηθεί. Τα αξιώματα του Ευκλείδη διαισθητικά φαίνονταν τόσο προφανή (με πιθανή εξαίρεση το [[Αξιώματα της Ευκλείδειας γεωμετρίας|αξίωμα παραλληλίας]]) που κάθε θεώρημα που αποδεικνυόταν με αυτά κρινόταν σωστό με απόλυτη βεβαιότητα. Σήμερα παρ' όλα αυτά υπάρχουν πολλές ακόμα [[Γεωμετρία|γεωμετρίες]] μη Ευκλείδειες που ανακαλύφθηκαν κατά τις αρχές του 19<sup>ου</sup> αιώνα. Ο μεγάλος φυσικός [[Άλμπερτ Αϊνστάιν]] μάλιστα είπε με την ανακάλυψη της [[Σχετικότητα|θεωρίας της σχετικότητας]] ότι ο πραγματικός χώρος δεν είναι Ευκλείδειος, αλλά ο [[Ευκλείδειος χώρος]] είναι μια καλή προσέγγιση για περιοχές που το [[βαρυτικό πεδίο]] είναι αδύναμο.<ref>Misner, Thorne και Wheeler (1973), σελ 47</ref>
 
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα παράδειγμα γεωμετρίας που δουλεύει χωρίς τη χρήση [[Συντεταγμένες|συντεταγμένων]]. Αντίθετα αν θέλουμε να δουλέψουμε με συντεταγμένες καταφεύγουμε στην [[αναλυτική γεωμετρία]].
 
== Αντικείμενο ==
Το αντικείμενο της Ευκλείδειας Γεωμετρίας είναι η μελέτη του χώρου και των σχημάτων που μπορούν να νοηθούν μέσα σε αυτόν. Γενικότερα στο χώρο διακρίνουμε τα '''[[Σημείο|σημεία]]''' (χωρίς καμία διάσταση), τις '''[[Γραμμή|γραμμές]]''' (με μία διάσταση) και τις '''[[Επιφάνεια (τοπολογία)|επιφάνειες]]''' (με δύο διαστάσεις). Οι επιφάνειες διαχωρίζουν τα αντικείμενα μεταξύ τους ή από το περιβάλλον. Πάνω σε μια επιφάνεια μπορούμε να θεωρήσουμε γραμμές, οι οποίες μάλιστα μπορούν να οριοθετηθούν. Στην καθημερινή γλώσσα μιλάμε π.χ. για «''γραμμές'' της ασφάλτου» ή «σιδηροδρομικές ''γραμμές''», ή «ακτοπλοϊκές ''γραμμές''» λαμβάνοντας πάντα υπόψη κάποια αρχή (αφετηρία) και κάποιο τερματικό [[σημείο]]. Στην καθημερινή γλώσσα δεχόμαστε τις προσεγγίσεις ενώ στην γεωμετρία όχι. Λειτουργούμε αναγκαστικά πολλές φορές και με αφηρημένες έννοιες που αποκαλούμε άλλοτε «πρωταρχικούς ''όρους''» και άλλοτε «γεωμετρικές ''προτάσεις''».
 
Λέγεται ότι, όταν ζητήθηκε στον Ευκλείδη από τον [[Πτολεμαίος ο Σωτήρ|Πτολεμαίο]] να του μάθει γεωμετρία, ο Πτολεμαίος του ζήτησε να μάθει μια «βασική» Γεωμετρία. Η απάντηση του Ευκλείδη ήταν «δεν υπάρχει βασιλικός δρόμος για τη Γεωμετρία».<ref>[http://www.wilbourhall.org/index.html#proclus Πρόκλος ο Διάδοχος], ''Σχόλια στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη'', σελ.68. [13-17] (Commentary of Proclus on Euclid I) {{pdf}}{{el}}</ref>
 
== Έννοιες - προτάσεις ==
* <u>Πρωταρχικές έννοιες</u> (ή αλλιώς, θεμελιώδεις έννοιες) στη Γεωμετρία είναι το [[σημείο]], η [[ευθεία γραμμή]], η [[γραμμή]], το [[επίπεδο]] και η [[Επιφάνεια (τοπολογία)|επιφάνεια]].<ref>Bunt, 1981, σ. 162</ref>
* Η Ευκλείδεια Γεωμετρία θεμελιώνεται πάνω σε κάποιες <u>προτάσεις</u> που δεχόμαστε ως αληθινές: τα [[αξίωμα|αξιώματα]]. Κάθε άλλη πρόταση (διαφορετική από τα αξιώματα) την θεωρούμε ώς αληθή μόνο εάν έχουμε καταλήξει σε αυτή αποδεικνύοντας την με βάση τα αξιώματα (κατά συνέπεια κάθε αποδεδειγμένη πρόταση μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την απόδειξη μίας άλλης πρότασης).
 
Κάθε πρόταση περιέχει την [[υπόθεση]] και το [[συμπέρασμα]], στο οποίο καταλήγουμε με τη βοήθεια της απόδειξης.
* Η «υπόθεση» και το «συμπέρασμα» λέγονται ''συνθήκες'' της πρότασης . Στη Γεωμετρία δύο προτάσεις μπορεί να λέγονται:
:''αντίστροφες'': όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση το συμπέρασμα της άλλης.
:''αντίθετες'': όταν οι συνθήκες (υπόθεση και συμπέρασμα) της μιας αποτελούν αρνήσεις των συνθηκών της άλλης, και τέλος
:''αντιστροφοαντίθετες'': όταν κάθε μια έχει ως υπόθεση την άρνηση του συμπεράσματος της άλλης.
* Αν δύο προτάσεις σχετίζονται με μία από τις τρεις προηγούμενες σχέσεις τότε η μία καλείται '''ευθεία πρόταση''' και η άλλη «αντίστροφη» ή «αντίθετη» ή «αντιστροφοαντίθετη», αντίστοιχα.
* Δύο αντίστροφες προτάσεις λέγονται και '''ισοδύναμες''' όπου η κάθε μια εξ αυτών ονομάζεται ''αναγκαία και ικανή'' συνθήκη για την άλλη.
* Κατά την εξέταση των γεωγραφικών σχημάτων η Γεωμετρία διακρίνεται στην [[Επιπεδομετρία]] και στη [[Στερεομετρία]].
 
== Βασικά στοιχεία της ευκλείδειας γεωμετρίας ==
Η μελέτη της Γεωμετρίας, όπως και κάθε [[Αξιωματική μέθοδος|αξιωματικής θεωρίας]], ξεκινά από ''<u>πρωταρχικές έννοιες</u>'', οι οποίες προκύπτουν εμπειρικά και τις οποίες δεχόμαστε χωρίς περαιτέρω διευκρινίσεις. Επίσης δεχόμαστε ως αρχική την έννοια του '''ανήκειν''', αφού μας ενδιαφέρει να διατυπώνουμε προτάσεις γύρω από «σημεία που ανήκουν σε μια ευθεία» ή για «κύκλους που ανήκουν σε μια σφαίρα» κ.λπ. Τέλος, τα προηγούμενα υπόκεινται σε ορισμένα [[Αξιώματα της Ευκλείδειας Γεωμετρίας|αξιώματα]], δηλαδή σε κάποιες παραδοχές, τις οποίες επίσης δεχόμαστε ως διαισθητικά προφανείς, με βάση την εμπειρία. Χαρακτηριστικά αναφέρονται (αναλυτικότερα) τα ''[[Αξιώματα Χίλμπερτ]]''.<br />
Βασιζόμενοι σε αυτά, μπορούμε να προχωρήσουμε βήμα-βήμα [[απόδειξη|αποδεικνύοντας]] όλα τα θεωρήματα της ευκλείδειας γεωμετρίας· κάθε απόδειξη θα στηρίζεται και θα προκύπτει από τα προηγούμενα συμπεράσματα. Η αποδεικτική μέθοδος δε, είναι κατά βάση [[Κατασκευαστική λογική|κατασκευαστική]] και συνίσταται στη χρήση [[Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη|κανόνα και διαβήτη]].
 
== ''Τα Στοιχεία'' ==
κύρια πηγή: ''[[Στοιχεία]]''
 
''Τα Στοιχεία'' είναι ουσιαστικά μια συστηματοποίηση της τότε υπάρχουσας γνώσης γεωμετρίας. Τα παλαιότερα παρόμοια εγχειρήματα ήταν σαφώς κατώτερα και για το λόγο αυτό τα περισσότερα έχουν εξαφανιστεί. Η βελτίωση που παρείχαν τα ''Στοιχεία'' αναγνωρίστηκε αμέσως.
 
Υπάρχουν 13 συνολικά βιβλία στα ''Στοιχεία:''
 
Τα βιβλία I-IV και VI ασχολούνται με γεωμετρία επιπέδου. Έχουν αποδειχτεί πολλά αποτελέσματα για το επίπεδο, όπως ότι "''Για κάθε τρίγωνο αν πάρουμε δύο γωνίες μαζί με οποιονδήποτε τρόπο, το αποτέλεσμα θα είναι σίγουρα μικρότερο από δύο ορθές γωνίες''" (Βιβλίο I Πρόταση 17), ή το [[Πυθαγόρειο θεώρημα]] "''Το τετράγωνο της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών''" (Βιβλίο I Πρόταση 47).
 
Τα βιβλία V και VII-X έχουν να κάνουν με θεωρία αριθμών, με αριθμούς που αντιμετωπίζονται γεωμετρικά μέσω της αναπαράστασης τους ως ευθύγραμμα τμήματα με διάφορα μήκη. Εισάγονται και έννοιες όπως [[Πρώτος αριθμός|πρώτοι αριθμοί]], [[Ρητός αριθμός|ρητοί]] και [[Άρρητος αριθμός|άρρητοι]] αριθμοί. Επίσης αποδεικνύεται και η απειρία των πρώτων αριθμών.
 
Τέλος τα βιβλία XI-XIII μιλούν για στερεομετρία. Ένα γνωστό αποτέλεσμα είναι η εύρεση του λόγου του όγκου ενός κώνου και ενός κυλίνδρου με ίδιο ύψος και βάση που είναι ίσος με 1:3.
 
=== Αξιώματα ===
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι ένα [[αξιωματικό σύστημα]] στο οποίο τα θεωρήματα προέρχονται από ένα μικρό αριθμό αξιωμάτων<ref>{{Cite book|title=Introduction to Non-Euclidean Geometry|last=Wolfe|first=Harold E.|publisher=Mill Press|year=2007|isbn=1-4067-1852-1|location=|page=9}}</ref>. Στην αρχή του πρώτου βιβλίου των ''Στοιχείων'' ο Ευκλείδης δίνει 5 αξιώματα για τη γεωμετρία του επιπέδου και σχετίζονται με τη κατασκευή.(Όπως το μετέφρασε ο Thomas Heath)<ref>tr. Heath, pp. 195–202</ref>:
 
"Let the following be postulated"(δηλαδή ας πάρουμε τα παρακάτω ως αποδεκτά):
[[Αρχείο:Parallel postulate.png|μικρογραφία|Αξίωμα παραλληλίας: "Έστω δύο ευθείες που τέμνονται με μια τρίτη. Οι ευθείες αυτές θα έχουν ένα σημείο τομής από την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται με την τρίτη ευθεία έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο ορθές γωνίες."]]
# "Η κατασκευή μιας [[Ευθεία|ευθείας γραμμής]] από ένα σημείο σε οποιοδήποτε άλλο"
# "Μια πεπερασμένη ευθεία μπορεί να επεκταθεί απεριόριστα"
# "Ένας [[κύκλος]] ορίζεται από ένα κέντρο και μια απόσταση([[Ακτίνα (γεωμετρία)|ακτίνα]])"
# "Όλες οι ορθές γωνίες είναι ίσες"
# Το αξίωμα παραλληλίας: "Αν μια ευθεία τέμνει δύο άλλες, τότε αυτές οι δύο αν επεκταθούν επ' αόριστον θα τμηθούν απ' την μεριά που οι εσωτερικές γωνίες που σχηματίζονται έχουν άθροισμα μικρότερο από δύο κάθετες"
Τα ''Στοιχεία'' περιλαμβάνουν επίσης τις επόμενες 5 "κοινές έννοιες"'':''
# Αντικείμενα που είναι ίσα με κάποιο άλλο ίδιο αντικείμενο είναι και μεταξύ τους ίσα (μεταβατική ιδιότητα ισότητας)
# Αν ίσα αντικείμενα προστεθούν σε ίσα, τότε τα τελικά παραμένουν ίσα(προσθετική ιδιότητα)
# Αν ίσα αφαιρεθούν από ίσα, τότε τα τελικά είναι επίσης ίσα(αφαιρετική ιδιότητα)
# Αντικείμενα που συμπίπτουν μεταξύ τους είναι ίσα
# Το όλο είναι μεγαλύτερο από ένα κομμάτι του.
 
=== Αξίωμα Παραλληλίας ===
Το αξίωμα αυτό σε σχέση με τα άλλα έμοιαζε λιγότερο προφανές για τους αρχαίους. Επειδή μάλιστα ενδιαφέρονταν να φτιάξουν ένα αυστηρά θεμελιωμένο σύστημα σκέφτονταν ότι ίσως θα πρέπει το αξίωμα αυτό να αποδειχθεί και να μην θεωρηθεί ως δεδομένο. Σήμερα γνωρίζουμε ότι μια τέτοια απόδειξη είναι μαθηματικά αδύνατη<ref>{{Cite journal|url=|title=History of the Parallel Postulate|last=Lewis|first=Florence P.|date=Jan 1920|journal=The American Mathematical Monthly|accessdate=|doi=}}</ref>. Ο Ευκλείδης παρ'όλα αυτά οργάνωσε ''τα Στοιχεία'' του έτσι ώστε οι 28 πρώτες προτάσεις να είναι αυτές που δε χρειάζονται το αξίωμα της παραλληλίας για να αποδειχθούν.
 
Πολλά αξιώματα μπορούν να διατυπωθούν ώστε να έχουν ίδιες [[Λογική συνέπεια|λογικές συνέπειες]] με το αξίωμα της παραλληλίας. Για παράδειγμα το αξίωμα Playfair's που μπορεί να χρησιμοποιηθεί αντί του 5<sup>ου</sup> αξιώματος του Ευκλείδη λέει το εξής:
 
Σε ένα [[επίπεδο]] δοθέντος μιας ευθείας και ενός σημείου εκτός αυτής, μπορώ να κατασκευάσω το πολύ μια ευθεία παράλληλη προς τη δοθείσα που θα περνάει απ' το δοθέν σημείο.
 
== Μέθοδοι απόδειξης ==
[[Αρχείο:Euclid-proof.svg|μικρογραφία|Απόδειξη απ' τα ''Στοιχεία'' του Ευκλείδη. "Αν έχουμε ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα, τότε υπάρχει ένα ισόπλευρο τρίγωνο που θα έχει αυτό το τμήμα ως μια απ΄ τις πλευρές του". Η απόδειξη είναι κατασκευαστική. Το ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ φτιάχνεται αν κατασκευάσουμε δύο κύκλους Δ και Ε με κέντρα Α και Β αντίστοιχα και πάρουμε το σημείο Γ να είναι μια απ΄τις δύο τομές των δύο κύκλων. Ενώνοντας τα σημεία Α,Β και Γ έχουμε το ζητούμενο ισόπλευρο τρίγωνο.]]
Η ευκλείδεια γεωμετρία είναι "κατασκευαστική". Τα αξιώματα 1,2,3 και 5 μας εξασφαλίζουν την ύπαρξη και μοναδικότητα συγκεκριμένων γεωμετρικών σχημάτων. Δε μένουν όμως μόνο εκεί γιατί μας εξασφαλίζουν και τις μεθόδους που τα κατασκευάζουν. Γιαυτό λέμε ότι είναι και "κατασκευαστική". Τα εργαλεία που απαιτούνται για την κατασκευή είναι χάρακας και διαβήτης<ref>Ball, σελ.56</ref>.Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι πιο συμπαγής από άλλα μοντέρνα αξιωματικά συστήματα όπως ας πούμε η [[θεωρία συνόλων]], που συχνά εξασφαλίζουν μόνο την ύπαρξη και όχι την μέθοδο κατασκευής ενός αντικειμένου. Υπάρχουν και περιπτώσεις που εξασφαλίζεται η ύπαρξη αλλά η ίδια θεωρία δεν επιτρέπει την κατασκευή.<ref>Με τις υποθέσεις του Ευκλείδη είναι εύκολο να βρεθεί ένας τύπος για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου ή ενός τετραγώνου.Παρ'όλα αυτά στη θεωρία συνόλων δεν είναι το ίδιο εύκολο να αποδειχθεί ότι το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι το άθροισμα των εμβαδών των μερών του. Βλέπε [[Μέτρο Λεμπέγκ]] και [[Banach-Tarski paradox]].</ref> Οι κατασκευαστικές αποδείξεις του Ευκλείδη πολλές φορές αντικαταστάθηκαν από άλλες μη-κατασκευαστικές. Π.χ μερικές αποδείξεις του Πυθαγόρα που περιείχαν άρρητους αριθμούς. Ο Ευκλείδης συχνά χρησιμοποιούσε και την μέθοδο της [[Εις άτοπον απαγωγή|εις άτοπον απαγωγής]]. Η ευκλείδεια γεωμετρία επίσης επιτρέπει και τη μέθοδο της υπέρθεσης κατά την οποία ένα αντικείμενο μεταφέρεται από ένα σημείο του χώρου σε κάποιο άλλο. Για παράδειγμα ή Πρόταση Ι4: η ισότητα τριγώνων μπορεί να αποδειχθεί μετακινώντας ένα απ΄ τα τρίγωνα έτσι ώστε η μια πλευρά του να συμπέσει στην αντίστοιχη ίση πλευρά του άλλου τριγώνου και στη συνέχεια αποδεικνύοντας ότι και οι άλλες δύο πλευρές των τριγώνων συμπίπτουν. Ως εναλλακτική της υπέρθεσης έχουμε μοντέρνα μαθηματικά που χρησιμοποιούν ένα ακόμα έκτο αξίωμα που έχει να κάνει με την ακαμψία του τριγώνου.
 
== Σύστημα μέτρησης και αριθμητική ==
Η ευκλείδεια γεωμετρία έχει δύο θεμελιώδεις τύπους μέτρησης: [[γωνία]] και [[απόσταση]]. Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε την [[ορθή γωνία]] ως μια βασική μονάδα για να περιγράψει τις υπόλοιπες γωνίες. Δηλαδή μια γωνία 45 μοιρών είναι ίση με μισή ορθή γωνία. Η απόσταση παρ'όλα αυτά δεν είχε έναν σταθερό γνώμονα όπως η ορθή γωνία. Επιλέγοντας ένα τυχαίο ευθύγραμμο τμήμα μπορούσε κανείς να μετρήσει όλα τα υπόλοιπα σε συνάρτηση με το πρώτο. Ένα τμήμα με μήκος χ αντιστοιχεί στον αριθμό αυτό. Αν θέλουμε να προσθέσουμε δύο αριθμούς χ και y παίρνουμε τα τμήματα με μήκος χ και y και τοποθετούμε το τέλος του ενός στην αρχή του άλλου. Αυτή είναι και μια γεωμετρική ερμηνεία της πρόσθεσης. Με ανάλογο τρόπο γίνεται η αφαίρεση.
 
Η μέτρηση εμβαδού και όγκου προέρχεται από τις αποστάσεις. Για παράδειγμα ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με πλάτος 3 και μήκος 4 έχει εμβαδόν ίσο με το γινόμενο των δύο. Επειδή η γεωμετρική αυτή ερμηνεία του πολλαπλασιασμού περιορίζεται στις τρεις διαστάσεις δεν μπορούσε να αναπαρασταθεί γεωμετρικά το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών. Έτσι ο Ευκλείδης αν και έκανε κάποιους υπαινιγμούς(π.χ Πρόταση 20 βιβλίο ΙΧ), συνήθως αγνοούσε το γινόμενο τεσσάρων και πάνω αριθμών.
[[Αρχείο:Congruent non-congruent triangles.svg|μικρογραφία|Ένα παράδειγμα ισότητας. Τα πρώτα δύο τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους και [[όμοια]] με το τρίτο τρίγωνο. Το τελευταίο δεν είναι τίποτα με τα πρώτα τρία. Παρατηρούμε ότι η θέση και η φορά των τριγώνων μπορεί να αλλάζουν αλλά αυτά που παραμένουν για να έχουμε ισότητα είναι η [[απόσταση]] και η [[γωνία]].]]
Ο Ευκλείδης αναφέρει ένα ζευγάρι ευθειών, επιπέδων ή στερεών ως "ίσα" αν τα μήκη, εμβαδά ή όγκοι τους είναι αντίστοιχα ίσοι. Όμοια για τις γωνίες. Η ισχυρότερη έννοια "[[Ισότητα (μαθηματικά)|ισότητα]]" ορίζεται να είναι η ιδιότητα που λέει πως ένα αντικείμενο έχει ίδιο μέγεθος και σχήμα με κάποιο άλλο. Επίσης ένα σχήμα είναι ίσο με ένα άλλο αν μετακινήσουμε το πρώτο πάνω στο δεύτερο και παρατηρήσουμε ότι ταυτίζονται. Π.χ ένα ορθογώνιο 2*6 με ένα ορθογώνιο 3*4 είναι ισοδύναμα αλλά δεν είναι ίσα. Σχήματα που είναι ίσα χωρίς να έχουν ίδιο μέγεθος αποκαλούνται [[όμοια]]. Αντίστοιχες γωνίες σε ένα ζευγάρι όμοιων σχημάτων είναι ίσες και αντίστοιχες πλευρές είναι ανάλογες μεταξύ τους.
 
== Ιστορική συμβολή ==
Ιστορικά η Γεωμετρία ήταν ο πρώτος τεχνικός κλάδος της ανθρώπινης γνώσης που διαμορφώθηκε στο πέρασμα των αιώνων σε επιστήμη, αλλά και για πολλούς αιώνες ο μοναδικός.
 
== Ορισμένα σημαντικά ή πολύ γνωστά αποτελέσματα ==
 
=== Pons Asinorum ===
Το [[Θεώρημα της γέφυρας των γαιδουριών|Θεώρημα της γέφυρας των γαϊδουριών]] (Pons Asinorum) αναφέρει ότι σε ισοσκελή τρίγωνα οι γωνίες της βάσης είναι ίσες μεταξύ τους, και αν οι ίσες ευθείες γραμμές παράγονται περαιτέρω τότε οι γωνίες κάτω από την βάση είναι ίσες.<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 1 ,πρόταση 5,σελίδα 251</ref>Το όνομά του μπορεί να αποδοθεί στον συχνό ρόλο του ως το πρώτο πραγματικό test στα ''Στοιχεία'' της κατανόησης του αναγνώστη και ως γέφυρα στις πιο δύσκολες προτάσεις που ακολουθούν.Επίσης μπορεί και να ονομάστηκε έτσι λόγω της ομοιότητας των γεωμετρικών σχημάτων με μία απότομη γέφυρα που μόνο ένας αλάνθαστος γάιδαρος θα μπορούσε να διασχίσει.
 
=== Ισότητα Τριγώνων ===
Τα τρίγωνα είναι ίσα αν έχουν όλες τις πλευρές τους ίσες ή αν έχουν δύο πλευρές και την γωνία ανάμεσα τους ίσες ή αν έχουν δύο γωνίες μία πλευρά ίση μεταξύ τους.(Βιβλίο I , προτάσεις 4 , 8 ,26).Τρίγωνα με τρεις ίσες γωνίες είναι όμοια, αλλά όχι αναγκαστικά ίσα.Επίσης τα τρίγωνα με δύο ίσες πλευρές και μία οποιαδήποτε γωνία δεν είναι απαραίτητα όμοια και ίσα.
 
=== Άθροισμα γωνίας τριγώνου ===
Το άθροισμα των γωνιών ενός τριγώνου είναι ίσο με μία ευθεία γωνία(180 μοίρες).<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 1 ,πρόταση 32</ref>Αυτό έχει ως αποτέλεσμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο να έχει τρεις εσωτερικές γωνίες από 60 μοίρες η κάθε γωνία.Επίσης αυτό σημαίνει ότι κάθε τρίγωνο έχει το λιγότερο δύο οξείες γωνίες και μέχρι μία [[αμβλεία γωνία]] ή [[ορθή γωνία]].
 
=== Το Πυθαγόρειο Θεώρημα ===
Το περίφημο [[Πυθαγόρειο θεώρημα|Πυθαγόρειο Θεώρημα]] (Βιβλίο I,πρόταση 47) αναφέρει ότι σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο το τετράγωνο της υποτείνουσας(η πλευρά απέναντι από την ορθή γωνία) ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των δύο κάθετων πλευρών.
 
=== Το Θεώρημα του Θαλή ===
Το [[Θεώρημα του Θαλή]] που ονομάστηκε έτσι λόγω του [[Θαλής|Θαλή του Μιλήσιου]] αναφέρει ότι αν Α,Β,Γ είναι σημεία ενός κύκλου όπου η γραμμή ΑΓ είναι η διάμετρος του κύκλου ,τότε η γωνία ΑΒΓ είναι ορθή γωνία.Ο Καντόρ υπέθεσε ότι ο Θαλής απέδειξε το θεώρημα του μέσω του 1ου βιβλίου του Ευκλείδη(πρόταση 32) μετά από τον τρόπο που χρησιμοποιήθηκε στο 3ο Βιβλίο του Ευκλείδη(πρόταση 31).<ref>Heath σελίδα 135</ref>Η παράδοση μάλιστα λέει ότι θυσίασε ένα ζώο για να γιορτάσει το γεγονός ότι απέδειξε το θεώρημα.<ref>Heath ,σελίδα 318</ref>
 
=== Κλιμάκωση του εμβαδού και του όγκου ===
Στην σύγχρονη ορολογία,το εμβαδόν ενός σχήματος αεροπλάνου είναι ανάλογο με το τετράγωνο μιας οποιασδήποτε από τις γραμμικές του διαστάσεις.<math>A \propto L^2</math> ως προς τον όγκο του στερεού ως προς τον κύβο, <math>A \propto L^3</math> .Ο Ευκλείδης απέδειξε αυτά τα αποτελέσματα σε πολλές διάφορες ειδικές περιπτώσεις όπως αυτή του κύκλου<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 12 , πρόταση 2</ref> και του όγκου σε παραλληλεπίπεδο στερεό<ref>Ευκλείδης ,Βιβλίο 11, πρόταση 33</ref>.Ο Ευκλείδης καθόρισε κάποιες ,αλλά όχι όλες, από τις σχετικές σταθερές της αναλογικότητας.Για παράδειγμα ήταν ο διάδοχός του ο [[Αρχιμήδης]] εκείνος ο οποίος απέδειξε ότι μια σφαίρα έχει τα 2/3 του όγκου του κυλίνδρου που περικλείει.<ref>Ball , σελίδα 66</ref>
 
=== 19ος αιώνας και μη Ευκλείδεια Γεωμετρία ===
Στις αρχές του 19ου αιώνα,ο [[Lazare Carnot|Carnot]] και ο [[Mobius]] ανέπτυξαν συστηματικά τη χρήση των υπογεγραμένων γωνιών και των ευθύγραμμων τμημάτων ως έναν τρόπο για την απλοποίηση και ενοποίηση των αποτελεσμάτων.
 
Η σημαντικότερη εξέλιξη του αιώνα στη γεωμετρία σημειώθηκε όταν,γύρω στο 1830,ο [[Janos Bolyai]] και ο [[Nikolai Ivanovich Lobachevsky]] δημοσίευσαν χωριστά έργο στην [[Μη ευκλείδειες γεωμετρίες]], στην οποία το παράλληλο αξίωμα δεν είναι έγκυρο.Δεδομένου ότι η μη Ευκλείδεια γεωμετρία είναι αποδεδειγμένα σχετικά συνδεδεμένη με την Ευκλείδεια γεωμετρία,το παράλληλο αξίωμα δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα.
 
Κατά τον 19ο αιώνα,έγινε επίσης αντιληπτό ότι τα δέκα αξιώματα και κοινές έννοιες του Ευκλείδη δεν επαρκούν για να αποδείξουν όλα τα θεωρήματα που αναφέρονται στα Στοιχεία.Για παράδειγμα,ο Ευκλείδης υπέθεσε σιωπηρά ότι κάθε γραμμή περιέχει τουλάχιστον δύο σημεία , αλλά η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να αποδειχθεί από τα άλλα αξιώματα , και ως εκ τούτου θα πρέπει να αποτελεί από μόνης της ένα αξίωμα.Η πρώτη γεωμετρική απόδειξη στα Στοιχεία,όπως φαίνεται στο σχήμα παραπάνω,είναι ότι κάθε τμήμα γραμμής είναι μέρος ενός τριγώνου.Ο Ευκλείδης το κατασκεύασε με τον συνήθη τρόπο, σχεδιάζοντας κύκλους γύρω από τα δύο τελικά σημεία και παίρνοντας την τομή τους ως την τρίτη [[κορυφή]].Τα αξιώματά του,ωστόσο,δεν εγγυώνται ότι οι κύκλοι τέμνονται στην πραγματικότητα,επειδή δεν υποστηρίζουν τη γεωμετρική ιδιότητα της συνέχειας,η οποία από Καρτεσιανή άποψη είναι ισοδύναμη με την ιδιότητα της [[πληρότητας]] των πραγματικών αριθμών.Ξεκινώντας από αυτό του [[Moritz Pasch]],το 1882,πολλά βελτιωμένα αξιωματικά συστήματα για γεωμετρία έχουν προταθεί,τα ποιο γνωστά από τα οποία είναι εκείνα των [[Hilbert]],[[George Birkhoff]] και [[Tarski]].
 
=== 20ος αιώνας και γενική σχετικότητα ===
Η θεωρία της γενικής σχετικότητας του [[Άλμπερτ Αϊνστάιν]] δείχνει ότι η πραγματική γεωμετρία του χωροχρόνου δεν είναι Ευκλείδεια γεωμετρία.Για παράδειγμα αν ένα τρίγωνο κατασκευαστεί από τρεις ακτίνες φωτός,τότε σε γενικές γραμμές οι εσωτερικές γωνίες δε φτάνουν το άθροισμα των 180 μοιρών λόγω της βαρύτητας.Ένα σχετικά ασθενές βαρυτικό πεδίο,όπως της Γης ή του Ήλιου,αντιπροσωπεύεται από μία μετρική που είναι σχεδόν,αλλά όχι ακριβώς,Ευκλείδεια.Μέχρι τον 20ο αιώνα , δεν υπήρχε τεχνολογία ικανή να ανιχνεύσει τις αποκλίσεις από την Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά ο Αϊνστάιν προέβλεψε ότι τέτοιες αποκλίσεις θα υπάρξουν.Αργότερα επαληθεύονται από παρατηρήσεις,όπως η ελαφριά κάμψη του αστρικού φωτός από τον Ήλιο κατά τη διάρκεια μιας ηλιακής έκλειψης το 1919,και τέτοιες σκέψεις είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι του λογισμικού που τρέχει το σύστημα [[GPS]].Είναι δυνατόν να αντιταχθεί σε αυτή την ερμηνεία της γενικής σχετικότητας με την αιτιολογία ότι οι ακτίνες του φωτός μπορεί να είναι ακατάλληλα φυσικά μοντέλα των γραμμών του Ευκλείδη,ή ότι η σχετικότητα θα μπορούσε να αναδιατυπωθεί , ώστε να αποφύγει τις γεωμετρικές ερμηνείες.Ωστόσο,μία από τις συνέπειες της θεωρίας του Αϊνστάιν είναι ότι δεν υπάρχει καμία δυνατή φυσική δοκιμή που να μπορεί να διακρίνει ανάμεσα σε μια ακτίνα του φωτός ως ένα μοντέλο γεωμετρικής γραμμής και κάθε άλλο φυσικό φαινόμενο.Έτσι,το μόνο λογικό ενδεχόμενο είναι να αποδεχτούμε την μη Ευκλείδεια γεωμετρία ως φυσική πραγματικότητα, ή να απορρίψουμε ολόκληρη την έννοια των φυσικών δοκιμών των αξιωμάτων της γεωμετρίας,κάτι το οποίο μπορεί τότε να φανταστεί ως ένα επίσημο σύστημα χωρίς κανένα πραγματικό νόημα.
 
== Σημειώσεις - Παραπομπές ==
<references/>
 
== Αναφορές ==
* {{cite book | surname1= Bunt | first1 = Lucas N. H. |surname2 = Jones | first2 = Phillip S.|surname3 = Bedient | first3 = Jacl D. | authorlink = | title = Οι ιστορικές ρίζες των στοιχειωδών μαθηματικών | origyear = | url = | edition = PRENTICE-HALL, INC., Englewood Cliffs, New Jersey | year = 1981 | publisher = Εκδόσεις Γ. Α. Πνευματικού | location = Αθήνα }}
 
 
{{authority control}}
{{Portal bar|Μαθηματικά}}
 
[[Κατηγορία:Ευκλείδεια Γεωμετρία|*]]
[[Κατηγορία:Στοιχειώδης γεωμετρία|*]]
28.854

επεξεργασίες