Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
(Εφαρμογες και περιγραφη)
=== 20ος αιώνας και γενική σχετικότητα ===
Η θεωρία της γενικής σχετικότητας του [[Άλμπερτ Αϊνστάιν]] δείχνει ότι η πραγματική γεωμετρία του χωροχρόνου δεν είναι Ευκλείδεια γεωμετρία.Για παράδειγμα αν ένα τρίγωνο κατασκευαστεί από τρεις ακτίνες φωτός,τότε σε γενικές γραμμές οι εσωτερικές γωνίες δε φτάνουν το άθροισμα των 180 μοιρών λόγω της βαρύτητας.Ένα σχετικά ασθενές βαρυτικό πεδίο,όπως της Γης ή του Ήλιου,αντιπροσωπεύεται από μία μετρική που είναι σχεδόν,αλλά όχι ακριβώς,Ευκλείδεια.Μέχρι τον 20ο αιώνα , δεν υπήρχε τεχνολογία ικανή να ανιχνεύσει τις αποκλίσεις από την Ευκλείδεια γεωμετρία, αλλά ο Αϊνστάιν προέβλεψε ότι τέτοιες αποκλίσεις θα υπάρξουν.Αργότερα επαληθεύονται από παρατηρήσεις,όπως η ελαφριά κάμψη του αστρικού φωτός από τον Ήλιο κατά τη διάρκεια μιας ηλιακής έκλειψης το 1919,και τέτοιες σκέψεις είναι πλέον αναπόσπαστο κομμάτι του λογισμικού που τρέχει το σύστημα [[GPS]].Είναι δυνατόν να αντιταχθεί σε αυτή την ερμηνεία της γενικής σχετικότητας με την αιτιολογία ότι οι ακτίνες του φωτός μπορεί να είναι ακατάλληλα φυσικά μοντέλα των γραμμών του Ευκλείδη,ή ότι η σχετικότητα θα μπορούσε να αναδιατυπωθεί , ώστε να αποφύγει τις γεωμετρικές ερμηνείες.Ωστόσο,μία από τις συνέπειες της θεωρίας του Αϊνστάιν είναι ότι δεν υπάρχει καμία δυνατή φυσική δοκιμή που να μπορεί να διακρίνει ανάμεσα σε μια ακτίνα του φωτός ως ένα μοντέλο γεωμετρικής γραμμής και κάθε άλλο φυσικό φαινόμενο.Έτσι,το μόνο λογικό ενδεχόμενο είναι να αποδεχτούμε την μη Ευκλείδεια γεωμετρία ως φυσική πραγματικότητα, ή να απορρίψουμε ολόκληρη την έννοια των φυσικών δοκιμών των αξιωμάτων της γεωμετρίας,κάτι το οποίο μπορεί τότε να φανταστεί ως ένα επίσημο σύστημα χωρίς κανένα πραγματικό νόημα.
 
== Μεταχείριση του άπειρου ==
 
=== Αντικείμενα του άπειρου ===
Ο Ευκλείδης μερικές φορές έκανε σαφή διάκριση μεταξύ των πεπερασμένων γραμμών(π.χ.αξίωμα 2) και των [[Άπειρες γραμμές|άπειρων γραμμών]](βιβλίο 1,πρόταση 12).Ωστόσο συνήθως δεν έκανε τέτοιες διακρίσεις,εκτός αν ήταν αναγκαίο.Τα αξιώματα δεν αναφέρονται ρητά στις άπειρες γραμμές,αν και για παράδειγμα μερικοί σχολιαστές ερμηνεύουν το αξίωμα 3,για την ύπαρξη κύκλου με οποιαδήποτε ακτίνα,ως υπόνοια ότι ο χώρος είναι άπειρος.
 
Η έννοια της [[Απειροελάχιστη ποσότητα|απειροελάχιστης ποσότητας]] είχε προηγουμένως συζητηθεί εκτενώς από την [[σχολή Eleatic]],αλλά κανείς δεν ήταν σε θέση να τους βάλει σε μια σταθερή λογική βάση με τα παράδοξα όπως αυτό του Zeno να εμφανίζονται χωρίς μια παγκόσμια αποδεκτή λύση.Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε τη [[μέθοδο της εξάντλησης]] αντί γι αυτήν της απειροελάχιστης ποσότητας.
 
Αργότερα σχολιαστές όπως ο [[Πρόκλος]](410–485 μ.Χ) αντιμετώπισε πολλά ερωτήματα σχετικά με το άπειρο όπως θέματα που απαιτούσαν απόδειξη και,π.χ. ο Πρόκλος ισχυρίστηκε ότι μπορεί να αποδείξει την άπειρη διαιρετότητα μιας γραμμής,βασιζόμενος σε μια εις άτοπον απαγωγή στην οποία εξέτασε τις περιπτώσεις να αποτελείται ακόμη και από μονό αριθμό σημείων.
 
Στις αρχές του 20ου αιώνα οι  [[Otto Stolz]], [[Paul du Bois-Reymond]], [[Giuseppe Veronese]] και άλλοι παρήγαγαν αμφειλεγόμενο έργο σε μη αρχιμηδεια μοντελα της ευκλείδειας γεωμετρίας,στα οποία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να είναι άπειρη ή απειροελάχιστη,με την έννοια [[Isaac Newton|Newton]]–[[Gottfried Leibniz|Leibniz]].Πενήντα χρόνια αργότερα,[[Abraham Robinson]] συνέφερε με μια αυστηρή λογική θεμελίωση για το έργο του Veronese.
 
== Σημειώσεις - Παραπομπές ==
16

επεξεργασίες