Διαφορά μεταξύ των αναθεωρήσεων του «Ευκλείδεια γεωμετρία»

καμία σύνοψη επεξεργασίας
(Σήμανση επιμέλειας)
Ο Ευκλείδης μερικές φορές έκανε σαφή διάκριση μεταξύ των πεπερασμένων γραμμών(π.χ.αξίωμα 2) και των [[Άπειρες γραμμές|άπειρων γραμμών]](βιβλίο 1,πρόταση 12).Ωστόσο συνήθως δεν έκανε τέτοιες διακρίσεις,εκτός αν ήταν αναγκαίο.Τα αξιώματα δεν αναφέρονται ρητά στις άπειρες γραμμές,αν και για παράδειγμα μερικοί σχολιαστές ερμηνεύουν το αξίωμα 3,για την ύπαρξη κύκλου με οποιαδήποτε ακτίνα,ως υπόνοια ότι ο χώρος είναι άπειρος.
 
Η έννοια της [[Απειροελάχιστη ποσότητα|απειροελάχιστης ποσότητας]] είχε προηγουμένως συζητηθεί εκτενώς από την [[σχολή Eleatic]],αλλά κανείς δεν ήταν σε θέση να τους βάλει σε μια σταθερή λογική βάση με τα παράδοξα όπως αυτό του Zeno[[Ζήνων ο Ελεάτης|Ζήνων]] να εμφανίζονται χωρίς μια παγκόσμια αποδεκτή λύση.Ο Ευκλείδης χρησιμοποίησε τη [[μέθοδο της εξάντλησης]] αντί γι αυτήν της απειροελάχιστης ποσότηταςαπόστασης.
 
Αργότερα σχολιαστές όπως ο [[Πρόκλος]](410–485 μ.Χ) αντιμετώπισε πολλά ερωτήματα σχετικά με το άπειρο όπως θέματα που απαιτούσαν απόδειξη και,π.χ. ο Πρόκλος ισχυρίστηκε ότι μπορεί να αποδείξει την άπειρη διαιρετότητα μιας γραμμής,βασιζόμενος σε μια εις άτοπον απαγωγή στην οποία εξέτασε τις περιπτώσεις να αποτελείται ακόμη και από μονό αριθμό σημείων.
 
Στις αρχές του 20ου αιώνα οι  [[Otto Stolz]], [[Paul du Bois-Reymond]], [[Giuseppe Veronese]] και άλλοι παρήγαγαν αμφειλεγόμενο έργο σε μη αρχιμηδεια μοντελα της ευκλείδειας γεωμετρίας,στα οποία η απόσταση μεταξύ δύο σημείων μπορεί να είναι άπειρη ή απειροελάχιστη,με την έννοια [[Isaac Newton|Newton]]–[[Gottfried Leibniz|Leibniz]].Πενήντα χρόνια αργότερα,[[Abraham Robinson]] συνέφερε με μια αυστηρή λογική θεμελίωση για το έργο του Veronese.
 
=== Άπειρες διαδικασίες ===
Ένας λόγος που οι αρχαίοι αντιμετώπισαν το παράλληλο αξίωμα ως λιγότερο βέβαιο σε σχέση με άλλα είναι ότι η φυσική του επαλήθευση θα απαιτούσε από εμάς να θεωρήσουμε δυο γραμμές για να ελέγξουμε ότι δεν τέμνονται ποτέ,ακόμη και σε κάποιο πολύ μακρινό σημείο,και ο έλεγχος αυτός θα μπορούσε ενδεχομένως να πάρει ένα άπειρο χρονικά διάστημα.
 
Η σύγχρονη διατύπωση της [[Μαθηματική επαγωγή|απόδειξης με επαγωγή]] δεν αναπτύχθηκε μέχρι τον 17ο αιώνα,αλλά κάποιοι μετέπειτα σχολιαστές θεώρησαν ότι βρίσκει εφαρμογή σε κάποιες αποδείξεις του Ευκλείδη,π.χ. η απόδειξη για την απειρία των πρώτων αριθμών.
 
Υποτίθεται ότι τα παράδοξα που αφορούν άπειρες σειρές,όπως το [[Παράδοξα του Ζήνωνα|παράδοξο του Ζήνων]],προηγήθηκαν του Ευκλείδη.Ο Ευκλείδης απέφευγε τέτοιες συζητήσεις,όπως για παράδειγμα, την έκφραση για τα τμηματικά αθροίσματα των [[Γεωμετρική σειρά|γεωμετρικών σειρών]] στο IX.35,χωρίς να σχολιάσει την πιθανότητα να αφήσει τον αριθμό των όρων να γίνει άπειρος.
 
== Λογική βάση ==
 
=== Κλασική λογική ===
Ο Ευκλείδης χρησιμοποιούσε συχνά τη [[Εις άτοπον απαγωγή|μέθοδο της εις άτοπον απαγωγής]] και ως εκ τούτου η παραδοσιακή παρουσίαση της Ευκλείδειας γεωμετρίας υποθέτει την [[Κλασική λογικη|κλασική λογική]],στην οποία κάθε πρόταση είναι είτε σωστή είτε λάθος ,δηλαδή για κάθε πρόταση Π ,η πρόταση <nowiki>''Π η όχι Π''</nowiki> είναι αυτόματα σωστή.
 
=== Σύγχρονα πρότυπα της λιτότητας ===
Η τοποθέτηση της Ευκλείδειας γεωμετρίας σε μια σταθερή αξιωματική βάση ήταν μια ενασχόληση των μαθηματικών για αιώνες.Ο ρόλος των θεμελιωδών εννοιών,ή αλλιώς των απροσδιόριστων εννοιών εξελίχθηκε ξεκάθαρα από τον  [[Alessandro Padoa]] από την αντιπροσωπεία του Peano στην σύσκεψη του 1900 στο Παρίσι.<blockquote>...όταν ξεκινήσουμε να διατυπώνουμε τη θεωρία,μπορούμε να φανταστούμε ότι τα ακαθόριστα σύμβολα είναι εντελώς άνευ νοήματος και ότι οι προτάσεις χωρίς απόδειξη είναι απλά όροι που επιβάλλονται επί των ακαθόριστων συμβόλων.</blockquote><blockquote>Έπειτα το σύστημα των ιδεών που έχουμε αρχικά επιλέξει είναι απλά μια ερμηνεία των ακαθόριστων συμβόλων,αλλά αυτή η ερμηνεία μπορεί να αγνοηθεί από τον αναγνώστη,ο ποίος είναι ελεύθερος να την αντικαταστήσει στο μυαλό του με μια άλλη ερμηνεία...η οποία πληροί τις προϋποθέσεις...</blockquote><blockquote>Έτσι,τα λογικά ερωτήματα γίνονται εντελώς ανεξάρτητα από τα εμπειρικά ή τα ψυχολογικά ερωτήματα...</blockquote><blockquote>Το σύστημα των ακαθόριστων συμβόλων μπορεί τότε να θεωρηθεί ως η αφαίρεση που λαμβάνεται από τις εξειδικευμένες θεωρίες που προκύπτουν όταν...το σύστημα των απροσδιόριστων συμβόλων αντικαθίσταται διαδοχικά από κάθε μία από τις ερμηνείες...</blockquote><blockquote>— Padoa, ''Essai d'une théorie algébrique des nombre entiers, avec une Introduction logique à une théorie déductive qulelconque''</blockquote>Δηλαδή τα μαθηματικά είναι ανεξάρτητη γνώση μέσα σε ένα ιεραρχικό πλαίσιο.Όπως είπε ο  [[Bertrand Russell]].<blockquote>Αν η υπόθεσή μας είναι για το οτιδήποτε, και όχι για ένα ή περισσότερα συγκεκριμένα πράγματα,τότε τα συμπεράσματά μας αποτελούν μαθηματικά.'Ετσι,τα μαθηματικά μπορούν να οριστούν ως το αντικείμενο στο οποίο δε ξέρουμε ποτέ για τι πράγμα μιλάμε,ούτε αν αυτό που λέμε είναι αλήθεια.</blockquote><blockquote>— Bertrand Russell,''Τα Μαθηματικά και οι μεταφυσικοί''</blockquote>Τέτοιες θεμελιώδεις προσεγγίσεις κυμαίνονται μεταξύ του θεμελιωτισμού και του [[Φορμαλισμός|φορμαλισμού]].
 
== Σημειώσεις - Παραπομπές ==
16

επεξεργασίες